方企勤 第一章 分析基础 第2题
📝 题目
例 2 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\left\lbrack xf\left( x\right) \right\rbrack }{x} = A$ .
💡 答案解析
证 不妨设 $x > 0$ ,注意到 ${xf}\left( x\right) - 1 < \left\lbrack {{xf}\left( x\right) }\right\rbrack \leq {xf}\left( x\right)$ ,有
$$ \frac{{xf}\left( x\right) - 1}{x} = f\left( x\right) - \frac{1}{x} < \frac{\left\lbrack xf\left( x\right) \right\rbrack }{x} \leq f\left( x\right) $$
$$ \overset{\text{ 由夹挤准则 }}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\left\lbrack xf\left( x\right) \right\rbrack }{x} = A. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立不等式关系
不妨设 x > 0，利用取整函数的性质：对于任意实数 t，有 t-1 < [t] ≤ t。令 t = x f(x)，得到 x f(x) - 1 < [x f(x)] ≤ x f(x)。
公式：t-1 < [t] ≤ t
提示：注意取整函数的不等式方向，以及 x>0 保证除法不等号方向不变。
步骤 2/3
目标：推导目标表达式的夹逼不等式
将不等式两边同时除以 x（x>0），得到 f(x) - 1/x < [x f(x)]/x ≤ f(x)。
公式：f(x) - \frac{1}{x} < \frac{[x f(x)]}{x} \leq f(x)
提示：除法时注意 x>0，不等号方向不变。
步骤 3/3
目标：应用夹逼准则求极限
已知 lim_{x→+∞} f(x) = A，且 lim_{x→+∞} (f(x) - 1/x) = A - 0 = A。由夹逼准则，得 lim_{x→+∞} [x f(x)]/x = A。
公式：\lim_{x\to +\infty} f(x) = A, \lim_{x\to +\infty} \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) = A \Rightarrow \lim_{x\to +\infty} \frac{[x f(x)]}{x} = A
提示：夹逼准则要求左右极限相等，且等于中间函数的极限。
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