方企勤 第一章 分析基础 第6题
📝 题目
例 6 求证:
(1) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{a}^{x} - 1}{x} = \ln a\left( {a > 0}\right)$ ； (2) $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\sqrt[n]{a} - 1}\right) = \ln a$ .
💡 答案解析
证 (1) 令 $y = {a}^{x} - 1$ ,则有 $x \rightarrow 0 \Leftrightarrow y \rightarrow 0$ ,且
$$ x = \frac{\ln \left( {1 + y}\right) }{\ln a} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{a}^{x} - 1}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 0}}\frac{y\ln a}{\ln \left( {1 + y}\right) } = \ln a. $$
(2) $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\sqrt[n]{a} - 1}\right) \overset{x = \frac{1}{n}}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{a}^{x} - 1}{x}$ . 由第 (1) 小题 In $a$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限 (1) lim_{x→0} (a^x - 1)/x = ln a
令 y = a^x - 1，则当 x→0 时，y→0。由 a^x = y+1，两边取自然对数得 x ln a = ln(y+1)，即 x = ln(y+1)/ln a。代入原极限得：lim_{x→0} (a^x - 1)/x = lim_{y→0} y / (ln(y+1)/ln a) = lim_{y→0} (y ln a)/ln(y+1) = ln a * lim_{y→0} y/ln(y+1)。利用重要极限 lim_{y→0} ln(1+y)/y = 1，即 lim_{y→0} y/ln(1+y) = 1，故极限为 ln a。
公式：lim_{y→0} ln(1+y)/y = 1
提示：注意变量代换后，要确保新变量趋向于0，并正确使用对数性质。
步骤 2/2
目标：证明极限 (2) lim_{n→∞} n(ⁿ√a - 1) = ln a
令 x = 1/n，则当 n→∞ 时，x→0。于是 n(ⁿ√a - 1) = (1/x)(a^x - 1) = (a^x - 1)/x。因此 lim_{n→∞} n(ⁿ√a - 1) = lim_{x→0} (a^x - 1)/x。由第(1)小题结论，该极限等于 ln a。
公式：n(ⁿ√a - 1) = (a^{1/n} - 1)/(1/n)
提示：利用变量替换将数列极限转化为函数极限，再应用已证结论。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。