方企勤 第一章 分析基础 第12题
📝 题目
例 12 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内无上界. 求证:
$$ \exists \left\{ {x}_{n}\right\} ,\;{x}_{n} \in \left( {a,b}\right) \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , $$
使得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = + \infty $$
💡 答案解析
证 由于 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内无上界,
对 $1 > 0$ ,因为 1 不是上界,所以 $\exists {x}_{1} \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $f\left( {x}_{1}\right) > 1$ ;
对 $2 > 0$ ,因为 2 不是上界,所以 $\exists {x}_{1} \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $f\left( {x}_{2}\right) > 2$ ;
对 $3 > 0$ ,因为 3 不是上界,所以 $\exists {x}_{1} \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $f\left( {x}_{3}\right) > 3$ ;
$\vdots$
对 $n > 0$ ,因为 $n$ 不是上界,所以 $\exists {x}_{n} \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $f\left( {x}_{n}\right) > n$ ;
$\vdots$
依此下去,产生一序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} ,{x}_{n} \in \left( {a,b}\right)$ . 由 $f\left( {x}_{n}\right) > n$ 及广义极限不等式知 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = + \infty$ .
\subsubsection{五、序列极限与函数极限的关系}