方企勤 第一章 分析基础 第11题
📝 题目
例 11 求证: 广义极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\tan n}$ 不存在.
💡 答案解析
证 对 ${\varepsilon }_{0} = \sin 1,\forall N$ ,当 $p = 1$ 时,有
$$ \left| {\tan \left( {n + p}\right) - \tan n}\right| = \left| {\tan \left( {n + 1}\right) - \tan n}\right| $$
$$ = \left| \frac{\sin \left( {n + 1}\right) \cos n - \cos \left( {n + 1}\right) \sin n}{\cos \left( {n + 1}\right) \cos n}\right| $$
$$ = \left| \frac{\sin 1}{\cos \left( {n + 1}\right) \cos n}\right| \geq \sin 1 = {\varepsilon }_{0} $$
$$ \left( {\forall n > N}\right) \text{ . } $$
由收敛原理知 $\{ \tan n\}$ 极限不存在.
同理可证序列 $\{ \cot n\}$ 极限也不存在. 于是, $\{ \tan n\}$ 不可能趋于 $\displaystyle{+ \infty}$ 或 $\displaystyle{- \infty}$ ,否则有 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\cot n = 0}$ 产生矛盾. 因此, $\{ \tan n\}$ 的广义极限也不存在.