方企勤 第一章 分析基础 第10题
📝 题目
例 10 设 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ .
💡 答案解析
证 显然 ${x}_{n}$ 是单调增加的,只要证明它不收敛即可. 对 ${\varepsilon }_{0} = \frac{1}{2}$ , 因为
$$ {x}_{2n} - {x}_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n} $$
$$ \geq \overset{n\text{ 项 }}{\overbrace{\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \cdots + \frac{1}{2n}}} = \frac{1}{2} = {\varepsilon }_{0}, $$
由收敛原理知 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 不收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明数列{x_n}单调增加
由于x_{n+1} - x_n = 1/(n+1) > 0，所以{x_n}严格单调递增。
公式：x_{n+1} - x_n = 1/(n+1) > 0
提示：单调性可直接由相邻项差的正负判断。
步骤 2/3
目标：利用柯西收敛准则证明数列不收敛
取ε₀=1/2，对任意正整数n，考虑x_{2n} - x_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)。由于每一项≥1/(2n)，共有n项，所以x_{2n} - x_n ≥ n * (1/(2n)) = 1/2 = ε₀。因此存在ε₀>0，对任意N，取n=N，p=N，有|x_{n+p} - x_n| ≥ ε₀，故数列不满足柯西条件，从而发散。
公式：x_{2n} - x_n ≥ n * (1/(2n)) = 1/2
提示：关键是将每一项缩小为最小值1/(2n)，得到常数下界。
步骤 3/3
目标：结合单调性和发散性推出极限为+∞
由于{x_n}单调递增且无上界（否则由单调有界定理会收敛，与发散矛盾），故极限为+∞。
提示：单调递增数列若发散，则必趋于+∞。
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