方企勤 第一章 分析基础 第13题
📝 题目
例 13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上单调上升, $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ . 又设
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = A $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ .
💡 答案解析
证 因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上单调上升,所以由广义极限存在性知,极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)$ 存在. 再由序列极限与函数极限的关系,知
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) \overset{\text{ 题设条件 }}{ = }A\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限存在
由于函数 f(x) 在 (a, +∞) 上单调上升，根据单调有界定理，f(x) 在 x→+∞ 时极限存在（可能为无穷大）。
提示：单调函数必有广义极限（包括无穷大）。
步骤 2/2
目标：利用序列极限与函数极限的关系
已知数列 {x_n} 趋于 +∞，且 f(x_n) 趋于 A。根据函数极限与序列极限的关系（Heine定理），若函数极限存在，则任何趋于 +∞ 的数列对应的函数值都趋于同一极限。因此，lim_{x→+∞} f(x) = lim_{n→∞} f(x_n) = A。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = A
提示：Heine定理要求函数极限存在，而第一步已保证。
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