方企勤 第一章 分析基础 第20题

教材习题

📝 题目

例 20 设 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) = a$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = a}$ .

💡 答案解析

证 注意到 ${a}_{n} = \left( {{a}_{n} - {a}_{n - 1}}\right) + \left( {{a}_{n - 1} - {a}_{n - 2}}\right) + \cdots + \left( {{a}_{2} - {a}_{1}}\right) + {a}_{1}$ ,

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\left( {{a}_{n} - {a}_{n - 1}}\right) + \left( {{a}_{n - 1} - {a}_{n - 2}}\right) + \cdots + \left( {{a}_{2} - {a}_{1}}\right) }{n} + \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1}}{n} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\left( {{a}_{n} - {a}_{n - 1}}\right) + \left( {{a}_{n - 1} - {a}_{n - 2}}\right) + \cdots + \left( {{a}_{2} - {a}_{1}}\right) }{n} $$

$$ \text{ 用

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将a_n表示为相邻项差的和
注意到 a_n = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1) + a_1
公式：a_n = \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) + a_1
提示：这是裂项相消的思想，将a_n分解为一系列差的和。
步骤 2/4
目标：将a_n/n表示为差的和除以n加上a_1/n
将a_n/n展开：a_n/n = [(a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + ... + (a_2 - a_1)]/n + a_1/n
公式：\frac{a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) + \frac{a_1}{n}
提示：注意a_1/n在n→∞时趋于0。
步骤 3/4
目标：应用Stolz定理或Cauchy命题的推广
令b_n = a_{n+1} - a_n，则b_n → a。由Cauchy命题（若数列极限存在，则前n项算术平均的极限相同），有lim_{n→∞} (1/n)∑_{k=1}^{n} b_k = a。但这里求和是从k=1到n-1，不影响极限。因此lim_{n→∞} (1/n)∑_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) = a
提示：Cauchy命题：若x_n→a，则(x_1+...+x_n)/n→a。
步骤 4/4
目标：得出最终极限
由于a_1/n → 0，结合上一步，得到lim_{n→∞} a_n/n = a。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n} = a
提示：注意a_1是常数，除以n趋于0。

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