方企勤 第一章 分析基础 第19题

教材习题

📝 题目

例 19 设 ${a}_{n} > 0$ ,且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}} = a}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = a}$ .

💡 答案解析

证 改写

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n - 1}} \cdot \frac{{a}_{n - 1}}{{a}_{n - 2}} \cdot \cdots \cdot \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}} \cdot {a}_{1}} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1}} \cdot \sqrt[n]{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n - 1}} \cdot \frac{{a}_{n - 1}}{{a}_{n - 2}} \cdot \cdots \cdot \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1}} \cdot {\left\lbrack {\left( \frac{{a}_{n}}{{a}_{n - 1}} \cdot \frac{{a}_{n - 1}}{{a}_{n - 2}} \cdot \cdots \cdot \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\right) }^{\frac{1}{n - 1}}\right\rbrack }^{\frac{n - 1}{n}} $$

用

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：改写根式
将 √[n]{a_n} 写成连乘积的形式：a_n = (a_n/a_{n-1}) * (a_{n-1}/a_{n-2}) * ... * (a_2/a_1) * a_1，因此 √[n]{a_n} = √[n]{a_1 * ∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1})}。
公式：√[n]{a_n} = √[n]{a_1 * ∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1})}
提示：注意 a_1 是常数项，连乘从 k=2 到 n。
步骤 2/5
目标：分离常数项
将常数项 a_1 的 n 次根单独写出：√[n]{a_n} = √[n]{a_1} * √[n]{∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1})}。
公式：√[n]{a_n} = √[n]{a_1} * (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/n}
提示：√[n]{a_1} 当 n→∞ 时趋于 1。
步骤 3/5
目标：调整指数
将连乘积的指数改写为 (n-1)/n 乘以 (n-1) 次根： (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/n} = [ (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/(n-1)} ]^{(n-1)/n}。
公式：(∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/n} = [ (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/(n-1)} ]^{(n-1)/n}
提示：注意指数运算规则。
步骤 4/5
目标：应用已知极限
由已知条件 lim_{n→∞} a_{n+1}/a_n = a，根据 Cauchy 第一定理，有 lim_{n→∞} (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/(n-1)} = a。
公式：lim_{n→∞} (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/(n-1)} = a
提示：Cauchy 第一定理：若数列 b_n 收敛于 b，则其几何平均也收敛于 b。
步骤 5/5
目标：取极限
由于 (n-1)/n → 1，且 √[n]{a_1} → 1，因此原极限为 1 * a^1 = a。
公式：lim_{n→∞} √[n]{a_n} = lim_{n→∞} √[n]{a_1} * [lim_{n→∞} (∏_{k=2}^n (a_k/a_{k-1}))^{1/(n-1)}]^{lim_{n→∞} (n-1)/n} = 1 * a^1 = a
提示：注意极限运算的乘积法则和指数连续性。

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