方企勤 第一章 分析基础 第18题
📝 题目
例 18 设 ${a}_{n} > 0$ ,且广义极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a}$ 存在. 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1} \cdot {a}_{2} \cdot \cdots \cdot {a}_{n}} = a. $$
💡 答案解析
证 因为 ${a}_{n} > 0$ ,所以 $a \geq 0$ .
当 $a > 0$ 时, $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\ln {a}_{n} = \ln a}$ . 应用
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明当 a>0 时，极限成立
由于 a_n > 0 且 lim a_n = a > 0，则 ln a_n 的极限存在且等于 ln a。考虑数列的几何平均数的对数：ln(√[n]{a_1 a_2 ... a_n}) = (1/n) Σ_{k=1}^n ln a_k。由 Cauchy 第一定理，若数列 {ln a_n} 收敛于 ln a，则其前 n 项算术平均也收敛于 ln a，即 (1/n) Σ_{k=1}^n ln a_k → ln a。因此 √[n]{a_1 a_2 ... a_n} → a。
公式：ln(√[n]{a_1 a_2 ... a_n}) = (1/n) Σ_{k=1}^n ln a_k
提示：应用 Cauchy 第一定理：若数列收敛，则算术平均也收敛到同一极限。
步骤 2/2
目标：证明当 a=0 时，极限成立
当 a=0 时，需证 √[n]{a_1 a_2 ... a_n} → 0。由于 a_n > 0 且 a_n → 0，对任意 ε > 0，存在 N，当 n > N 时 a_n < ε。将乘积分为两部分：前 N 项和后面的项。则 √[n]{a_1 ... a_N} 是常数，而后面项小于 ε。利用夹逼准则，可证极限为 0。
公式：0 < √[n]{a_1 a_2 ... a_n} < √[n]{M^N ε^{n-N}}，其中 M = max{a_1,...,a_N}
提示：当 a=0 时，注意 a_n 可以任意小，但前有限项可能较大，需分开处理。
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