方企勤 第一章 分析基础 第23题

教材习题

📝 题目

例 23 设 $f\left( x\right)$ 在(0,1)内有定义,且

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }{x} = 0. $$

求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) }{x} = 0$ .

💡 答案解析

证 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }{x} = 0$ ,所以对任意给定的 $\varepsilon > 0,\exists \delta >$ 0,使得当 $x \in \left( {0,\delta }\right)$ 时,

$$ \left| \frac{f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }{x}\right| < \frac{\varepsilon }{2} \Rightarrow \left| {f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{2}x \tag{4.6} $$

$\forall t \in \left( {0,\delta }\right)$ ,由 (4.6) 得

$$ \left| {f\left( t\right) }\right| = \left\lbrack {\left\lbrack {f\left( t\right) - f\left( \frac{t}{2}\right) }\right\rbrack + \left\lbrack {f\left( \frac{t}{2}\right) - f\left( \frac{t}{{2}^{2}}\right) }\right\rbrack }\right\rbrack $$

$$ + \cdots + \left\lbrack {f\left( \frac{t}{{2}^{n - 1}}\right) - f\left( \frac{t}{{2}^{n}}\right) }\right\rbrack + f\left( \frac{t}{{2}^{n}}\right) $$

$$ \leq \left| {f\left( t\right) - f\left( \frac{t}{2}\right) }\right| + \left| {f\left( \frac{t}{2}\right) - f\left( \frac{t}{{2}^{2}}\right) }\right| $$

$$ + \cdots + \left| {f\left( \frac{t}{{2}^{n - 1}}\right) - f\left( \frac{t}{{2}^{n}}\right) }\right| + \left| {f\left( \frac{t}{{2}^{n}}\right) }\right| $$

$$ < \varepsilon \left( {\frac{t}{2} + \frac{t}{{2}^{2}} + \cdots + \frac{t}{{2}^{n}}}\right) + \left| {f\left( \frac{t}{{2}^{n}}\right) }\right| . \tag{4.7} $$

因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}f\left( x\right) = 0$ ,所以对 (4.7) 令 $\displaystyle{n \rightarrow + \infty}$ 取极限得到

$$ \left| {f\left( t\right) }\right| \leq {t\varepsilon } \Rightarrow \left| \frac{f\left( t\right) }{t}\right| < \varepsilon \;\left( {\forall t \in \left( {0,\delta }\right) }\right) . $$

从而 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) }{x} = 0$ .

\subsubsection{七、连续概念及其应用}

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用极限定义得到不等式
由已知极限条件，对任意ε>0，存在δ>0，使得当x∈(0,δ)时，有|f(x)-f(x/2)| < (ε/2)x。
公式：|f(x)-f(x/2)| < (ε/2)x
提示：注意极限定义中分母为x，因此乘以x得到绝对值不等式。
步骤 2/4
目标：对任意t∈(0,δ)进行迭代放缩
将f(t)表示为 telescoping sum: f(t) = [f(t)-f(t/2)] + [f(t/2)-f(t/2^2)] + ... + [f(t/2^{n-1})-f(t/2^n)] + f(t/2^n)。然后利用三角不等式和第一步的不等式，得到|f(t)| < ε(t/2 + t/2^2 + ... + t/2^n) + |f(t/2^n)|。
公式：|f(t)| < ε t (1 - 1/2^n) + |f(t/2^n)|
提示：注意求和公式：t/2 + t/2^2 + ... + t/2^n = t(1 - 1/2^n)。
步骤 3/4
目标：取极限n→∞
由于lim_{x→0}f(x)=0，当n→∞时，t/2^n→0，因此|f(t/2^n)|→0。对不等式取极限得到|f(t)| ≤ ε t，即|f(t)/t| < ε。
公式：|f(t)/t| < ε
提示：极限的保号性：不等式在极限下保持≤。
步骤 4/4
目标：由极限定义得出结论
由ε的任意性，得到lim_{x→0} f(x)/x = 0。
提示：完成证明。

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