方企勤 第一章 分析基础 第25题
📝 题目
例 25 对任意的实数 $x$ ,定义
$$ f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}^{{2n} - 1} - 1}{{x}^{2n} + 1}. $$
试问函数 $f\left( x\right)$ 有没有间断点,如果有,请指出在何处,什么类型?
💡 答案解析
解 如图 1.4 所示,
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1, & \left| x\right| < 1,x = - 1, \\ 0, & x = 1, \\ \frac{1}{x}, & \left| x\right| > 1, \end{array}\right. $$
$x = 1$ 是第一类跳跃间断点.
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图 1.4
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限表达式在不同|x|范围内的行为
考虑极限 f(x) = lim_{n→∞} (x^{2n-1} - 1)/(x^{2n} + 1)。由于分母有 x^{2n}，需要分 |x|<1, |x|=1, |x|>1 三种情况讨论。
公式：f(x) = lim_{n→∞} (x^{2n-1} - 1)/(x^{2n} + 1)
提示：注意 x^{2n} 当 |x|<1 时趋于0，|x|>1 时趋于无穷，|x|=1 时恒为1。
步骤 2/6
目标：计算 |x|<1 时的极限
当 |x|<1 时，x^{2n} → 0，x^{2n-1} → 0，因此 f(x) = (0-1)/(0+1) = -1。注意 x=-1 时 |x|=1，但此处 |x|<1 不包括 x=-1，所以 x=-1 单独处理。
公式：f(x) = -1, |x|<1
提示：x=-1 属于 |x|=1 情况，需单独考虑。
步骤 3/6
目标：计算 |x|>1 时的极限
当 |x|>1 时，x^{2n} → ∞，x^{2n-1} → ∞。分子分母同除以 x^{2n}：f(x) = lim (x^{-1} - x^{-2n})/(1 + x^{-2n}) = (1/x - 0)/(1+0) = 1/x。
公式：f(x) = 1/x, |x|>1
提示：注意 x^{2n-1}/x^{2n} = 1/x。
步骤 4/6
目标：计算 |x|=1 时的极限，包括 x=1 和 x=-1
当 x=1 时，x^{2n}=1，x^{2n-1}=1，f(1)=lim (1-1)/(1+1)=0。当 x=-1 时，x^{2n}=1，x^{2n-1}=-1，f(-1)=lim (-1-1)/(1+1)=-1。注意 x=-1 时结果与 |x|<1 相同。
公式：f(1)=0, f(-1)=-1
提示：x=-1 时极限为 -1，与 |x|<1 一致，因此 x=-1 不是间断点。
步骤 5/6
目标：写出分段函数表达式
综合以上：f(x) = -1 当 |x|<1 或 x=-1；f(1)=0；f(x)=1/x 当 |x|>1。注意 x=-1 已包含在 |x|<1 中？实际上 |x|<1 不包括 -1，但结果相同，可合并为 |x|≤1 且 x≠1 时 f(x)=-1，但通常写成分段：|x|<1 或 x=-1 时 -1，x=1 时 0，|x|>1 时 1/x。
公式：f(x) = { -1, |x|<1 或 x=-1; 0, x=1; 1/x, |x|>1 }
提示：注意 x=-1 处极限与函数值一致，故连续。
步骤 6/6
目标：判断间断点
检查 x=1 处：左极限 lim_{x→1-} f(x) = -1，右极限 lim_{x→1+} f(x) = 1/1=1，f(1)=0。左右极限存在但不相等，且不等于函数值，故 x=1 是第一类跳跃间断点。其他点连续。
公式：左极限 -1，右极限 1，函数值 0
提示：第一类间断点指左右极限都存在。
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