方企勤 第一章 分析基础 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $f\left( x\right)$ 是 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的非负连续函数,且 $f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0$ . 求证: 对任意的实数 $r\left( {0 < r < 1}\right)$ ,必存在 ${x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 ${x}_{0} + r \in$ $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,且

$$ f\left( {x}_{0}\right) = f\left( {{x}_{0} + r}\right) . \tag{5.2} $$

分析 作辅助函数 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - f\left( {x + r}\right)$ . 要找满足 (5.2) 的 ${x}_{0}$ ,就是找函数 $F\left( x\right)$ 的零点.

💡 答案解析

证 由于

$$ F\left( 0\right) = - f\left( r\right) ,F\left( {1 - r}\right) = f\left( {1 - r}\right) $$

$$ \Rightarrow F\left( 0\right) \cdot F\left( {1 - r}\right) = - f\left( r\right) f\left( {1 - r}\right) \leq 0. \tag{5.3} $$

(1) 如果 (5.3) 式中的 “ $=$ ” 号成立,那么 ${x}_{0} = 0$ 或 ${x}_{0} = 1 - r$ 满足 (5.2).

(2)如果(5.3)式中的“ $<$ ”号成立,即 $F\left( 0\right)$ 与 $F\left( {1 - r}\right)$ 异号,又 $F\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1 - r}\right\rbrack$ 连续,从而根据连续函数的零值定理存在 ${x}_{0} \in$ (0,1 - r),使得 $F\left( {x}_{0}\right) = f\left( {x}_{0}\right) - f\left( {{x}_{0} + r}\right) = 0$ ,即 (5.2) 成立.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：构造辅助函数
定义辅助函数 F(x) = f(x) - f(x+r)，其中 x 的取值范围需保证 x 和 x+r 都在 [0,1] 内，即 x ∈ [0, 1-r]。
公式：F(x) = f(x) - f(x+r)
提示：辅助函数是连接已知条件和待证结论的桥梁，通常将等式问题转化为函数零点问题。
步骤 2/4
目标：计算端点函数值
计算 F(0) 和 F(1-r)：F(0) = f(0) - f(r) = -f(r)（因为 f(0)=0），F(1-r) = f(1-r) - f(1) = f(1-r)（因为 f(1)=0）。
公式：F(0) = -f(r), F(1-r) = f(1-r)
提示：注意利用已知条件 f(0)=f(1)=0 简化表达式。
步骤 3/4
目标：分析端点函数值乘积的符号
计算 F(0)·F(1-r) = -f(r)·f(1-r)。由于 f 非负，f(r)≥0，f(1-r)≥0，故乘积 ≤0。
公式：F(0)·F(1-r) = -f(r)f(1-r) ≤ 0
提示：乘积小于等于0意味着两端点函数值异号或至少一个为零。
步骤 4/4
目标：分情况讨论零点存在性
情况1：若 F(0)·F(1-r)=0，则 f(r)=0 或 f(1-r)=0，此时取 x0=0 或 x0=1-r 即满足 f(x0)=f(x0+r)。情况2：若 F(0)·F(1-r)<0，则 F(0) 与 F(1-r) 异号，由连续函数介值定理，存在 x0∈(0,1-r) 使得 F(x0)=0，即 f(x0)=f(x0+r)。
提示：零值定理（介值定理）是处理连续函数零点问题的常用工具。

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