方企勤 第二章 一元函数微分学 第6题
📝 题目
例 6 求证心脏线 $r = a\left( {1 - \cos \theta }\right) \left( {a > 0}\right)$ 的向径与切线间的夹角等于向径极角的一半.
💡 答案解析
证 设向径与切线间的夹角为 $\beta$ ,则
$$ \tan \beta = \frac{r}{{r}^{\prime }} = \frac{a\left( {1 - \cos \theta }\right) }{a\sin \theta } = \tan \frac{\theta }{2} \Rightarrow \beta = \frac{\theta }{2}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设向径与切线间的夹角为β
设心脏线上任意一点处的向径与切线间的夹角为β。
提示：明确几何关系：向径是从极点到曲线上点的线段，切线是曲线在该点的切线。
步骤 2/6
目标：利用极坐标下切线与向径夹角公式
在极坐标中，向径与切线间的夹角β满足 tanβ = r / (dr/dθ)。
公式：tanβ = r / r'
提示：该公式是极坐标下求切线方向的重要工具，需牢记。
步骤 3/6
目标：计算r和r'
已知 r = a(1 - cosθ)，则 r' = dr/dθ = a sinθ。
公式：r = a(1 - cosθ), r' = a sinθ
提示：对θ求导时注意常数a。
步骤 4/6
目标：代入公式化简
将r和r'代入tanβ公式：tanβ = [a(1 - cosθ)] / (a sinθ) = (1 - cosθ)/sinθ。
公式：tanβ = (1 - cosθ)/sinθ
提示：化简时约去a。
步骤 5/6
目标：利用三角恒等式化简
利用半角公式：1 - cosθ = 2sin²(θ/2)，sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)，所以 tanβ = [2sin²(θ/2)] / [2sin(θ/2)cos(θ/2)] = tan(θ/2)。
公式：tanβ = tan(θ/2)
提示：注意θ/2的取值范围，确保正切有意义。
步骤 6/6
目标：得出结论
由tanβ = tan(θ/2)且β与θ/2在同一象限或相差π的整数倍，通常取β = θ/2。
公式：β = θ/2
提示：由于心脏线在0≤θ≤2π内，θ/2在0到π之间，β也在0到π之间，故相等。
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