方企勤 第二章 一元函数微分学 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $y = \frac{x - a}{1 - {ax}}\left( {\left| a\right| < 1}\right)$ . 求证: 当 $\left| x\right| < 1$ 时,有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{1 - {y}^{2}} = \frac{\mathrm{d}x}{1 - {x}^{2}}. $$

💡 答案解析

证法 1 由已知条件得

$$ \mathrm{d}y = \frac{1 - {a}^{2}}{{\left( ax - 1\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x, $$

$$ 1 - {y}^{2} = \frac{\left( {1 - {a}^{2}}\right) \left( {1 - {x}^{2}}\right) }{{\left( ax - 1\right) }^{2}}, $$

整理化简得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{1 - {y}^{2}} = \frac{\frac{1 - {a}^{2}}{{\left( ax - 1\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x}{\frac{\left( {1 - {a}^{2}}\right) \left( {1 - {x}^{2}}\right) }{{\left( ax - 1\right) }^{2}}} = \frac{\mathrm{d}x}{1 - {x}^{2}}. $$

证法 2 先由 $y$ 的表达式,解出 $a = \frac{x - y}{1 - {xy}}$ . 再两边取微分,得

$$ 0 = \frac{\left( {\mathrm{d}x - \mathrm{d}y}\right) \left( {1 - {xy}}\right) + \left( {x - y}\right) \left( {y\mathrm{\;d}x + x\mathrm{\;d}y}\right) }{{\left( 1 - xy\right) }^{2}} $$

$$ \Rightarrow \left( {1 - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x - \left( {1 - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算 dy
对 y = (x-a)/(1-ax) 求微分，使用商法则：dy = [(1-ax)*1 - (x-a)*(-a)]/(1-ax)^2 dx = (1-ax + a(x-a))/(1-ax)^2 dx = (1-a^2)/(ax-1)^2 dx
公式：dy = (1-a^2)/(ax-1)^2 dx
提示：注意分母平方时符号处理
步骤 2/3
目标：计算 1-y^2
先计算 y^2 = (x-a)^2/(1-ax)^2，则 1-y^2 = [ (1-ax)^2 - (x-a)^2 ]/(1-ax)^2。分子展开：1 - 2ax + a^2x^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = 1 - a^2 - x^2 + a^2x^2 = (1-a^2)(1-x^2)。分母 (1-ax)^2 = (ax-1)^2，所以 1-y^2 = (1-a^2)(1-x^2)/(ax-1)^2
公式：1-y^2 = (1-a^2)(1-x^2)/(ax-1)^2
提示：分子因式分解是关键
步骤 3/3
目标：计算 dy/(1-y^2)
将 dy 和 1-y^2 代入：dy/(1-y^2) = [ (1-a^2)/(ax-1)^2 dx ] / [ (1-a^2)(1-x^2)/(ax-1)^2 ] = dx/(1-x^2)，约去 (1-a^2)/(ax-1)^2
公式：dy/(1-y^2) = dx/(1-x^2)
提示：注意约分条件：|a|<1 保证 1-a^2≠0，|x|<1 保证分母非零

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