方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 得

$$ {\left( r\mathrm{\;d}\theta \right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}r\right) }^{2} = {\left( r \cdot \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{r}^{2}}\right) }^{2} + {\left( \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{r}\right) }^{2} $$

$$ = \frac{1}{{r}^{2}}\left\lbrack {{\left( x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x\right) }^{2} + {\left( x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y\right) }^{2}}\right\rbrack $$

$$ = {\left( \mathrm{d}x\right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}y\right) }^{2}. $$

💡 答案解析

证法 2 由 $x = r\left( \theta \right) \cos \theta ,y = r\left( \theta \right) \sin \theta \left( {\theta = \theta \left( t\right) }\right)$ ,从而

$$ {\left( \mathrm{d}x\right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}y\right) }^{2} = {\left( \cos \theta \mathrm{d}r - r\sin \theta \mathrm{d}\theta \right) }^{2} + {\left( \sin \theta \mathrm{d}r + r\cos \theta \mathrm{d}\theta \right) }^{2} $$

$$ = {\left( r\mathrm{\;d}\theta \right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}r\right) }^{2}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将直角坐标的微分平方和用极坐标表示
由 x = r cos θ, y = r sin θ，其中 r 和 θ 是 t 的函数，对 t 求微分得 dx = cos θ dr - r sin θ dθ, dy = sin θ dr + r cos θ dθ。
公式：dx = cosθ dr - r sinθ dθ, dy = sinθ dr + r cosθ dθ
提示：注意使用乘积法则求微分。
步骤 2/3
目标：计算 dx² + dy²
将 dx 和 dy 代入 (dx)² + (dy)²，展开并合并同类项。
公式：(dx)² + (dy)² = (cosθ dr - r sinθ dθ)² + (sinθ dr + r cosθ dθ)²
提示：展开时注意交叉项会抵消。
步骤 3/3
目标：化简得到极坐标形式
展开后得到 cos²θ dr² - 2r sinθ cosθ dr dθ + r² sin²θ dθ² + sin²θ dr² + 2r sinθ cosθ dr dθ + r² cos²θ dθ² = (cos²θ+sin²θ) dr² + r²(sin²θ+cos²θ) dθ² = dr² + r² dθ²。
公式：(dx)² + (dy)² = (dr)² + (r dθ)²
提示：利用 sin²θ+cos²θ=1 化简。

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