方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题
📝 题目
例 3 设 $x\left( t\right) ,y\left( t\right)$ 可微, $r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}},\theta = \arctan \frac{y}{x}$ ,求 $\mathrm{d}r,\mathrm{\;d}\theta$ .
💡 答案解析
解 $\mathrm{d}r = \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}},\mathrm{\;d}\theta = \frac{1}{{\left( 1 + \frac{y}{x}\right) }^{2}} \cdot \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2}} = \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算 dr
由 r = sqrt(x^2 + y^2)，对 r 求全微分。先求偏导数：∂r/∂x = x / sqrt(x^2 + y^2)，∂r/∂y = y / sqrt(x^2 + y^2)。则 dr = (∂r/∂x) dx + (∂r/∂y) dy = (x dx + y dy) / sqrt(x^2 + y^2)。
公式：r = sqrt(x^2 + y^2), dr = (x dx + y dy) / sqrt(x^2 + y^2)
提示：注意 r 是 x 和 y 的函数，使用全微分公式。
步骤 2/2
目标：计算 dθ
由 θ = arctan(y/x)，对 θ 求全微分。先求偏导数：∂θ/∂x = 1/(1+(y/x)^2) * (-y/x^2) = -y/(x^2+y^2)，∂θ/∂y = 1/(1+(y/x)^2) * (1/x) = x/(x^2+y^2)。则 dθ = (∂θ/∂x) dx + (∂θ/∂y) dy = (-y dx + x dy) / (x^2+y^2)。
公式：θ = arctan(y/x), dθ = (x dy - y dx) / (x^2+y^2)
提示：注意 arctan 的导数公式，以及化简时利用 1+(y/x)^2 = (x^2+y^2)/x^2。
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