方企勤第二章一元函数微分学第2题

教材习题

📝 题目

例 2 已知 $f\left( x\right)$ 是 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的连续函数,它在 $x = 0$ 的某个邻域内满足关系式

$$ f\left( {1 + \sin x}\right) - {3f}\left( {1 - \sin x}\right) = {8x} + o\left( x\right) \;\left( {x \rightarrow 0}\right) , $$

且 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 1$ 处可导,求曲线 $y = f\left( x\right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1\right) }\right)$ 处的切线方程.

解令 $\sin x = t$ ,注意到当 $x \rightarrow 0$ 时, $t \rightarrow 0$ ,且 $\sin x \sim x$ , arcsin $t \sim t$ . 题设条件可改写为

$$ f\left( {1 + t}\right) - {3f}\left( {1 - t}\right) = {8t} + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) . \tag{1.4} $$

又因为 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 1$ 处可导,所以

$$ f\left( {1 \pm t}\right) = f\left( 1\right) \pm {f}^{\prime }\left( 1\right) t + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) . \tag{1.5} $$

将 (1.5) 式代入改写了的题设条件 (1.4) 式, 得到

$$ - {2f}\left( 1\right) + 4{f}^{\prime }\left( 1\right) t + o\left( t\right) = {8t} + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) $$

$$ \Rightarrow f\left( 1\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 1\right) = 2\text{ . } $$

从而,所求切线方程为 $y = {2x}$ .

步骤 1/4

目标：变量替换，将条件转化为关于t的表达式

令 sin x = t，当 x→0 时，t→0，且 sin x ~ x，arcsin t ~ t。原条件化为 f(1+t) - 3f(1-t) = 8t + o(t) (t→0)。

公式：f(1+t) - 3f(1-t) = 8t + o(t)

提示：注意等价无穷小替换的合理性。

步骤 2/4

目标：利用可导性进行泰勒展开

因为 f(x) 在 x=1 处可导，所以 f(1±t) = f(1) ± f'(1)t + o(t) (t→0)。

公式：f(1±t) = f(1) ± f'(1)t + o(t)

提示：展开到一阶即可。

步骤 3/4

目标：代入并比较系数

将展开式代入条件：f(1)+f'(1)t - 3[f(1)-f'(1)t] + o(t) = 8t + o(t)，整理得 -2f(1) + 4f'(1)t + o(t) = 8t + o(t)。比较系数得 -2f(1)=0，4f'(1)=8，故 f(1)=0，f'(1)=2。

公式：-2f(1) + 4f'(1)t = 8t

提示：注意 o(t) 项合并。

步骤 4/4

目标：写出切线方程

切线方程为 y - f(1) = f'(1)(x-1)，代入 f(1)=0，f'(1)=2 得 y = 2(x-1)，即 y = 2x - 2。

公式：y = f'(1)(x-1) + f(1)

提示：注意点斜式方程。

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