方企勤 第二章 一元函数微分学 第13题

教材习题

📝 题目

例 13 设 ${P}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}$ . 求证:

(1) ${P}_{n}\left( x\right)$ 的最高次项系数为 $\frac{\left( {2n}\right) !}{{2}^{n}{\left( n!\right) }^{2}}$ ;

(2) ${P}_{n}\left( 1\right) = 1,{P}_{n}\left( {-1}\right) = {\left( -1\right) }^{n}$ ;

(3) $\left( {{x}^{2} - 1}\right) {P}_{n}^{\prime \prime }\left( x\right) + {2x}{P}_{n}^{\prime }\left( x\right) - n\left( {n + 1}\right) {P}_{n}\left( x\right) = 0$ .

💡 答案解析

证 (1) 因为 ${\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}$ 的最高次项为 ${2n}$ 次,所以 $\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}$ 的最高次项系数为

$$ {2n}\left( {{2n} - 1}\right) \cdots \left( {n + 1}\right) = \frac{\left( {2n}\right) !}{n!}, $$

所以 ${P}_{n}\left( x\right)$ 的最高次项系数为 $\frac{\left( {2n}\right) !}{{2}^{n}{\left( n!\right) }^{2}}$ .

(2)按莱布尼茨公式:

$$ {P}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{n}n!}{\left\lbrack {\left( x - 1\right) }^{n}{\left( x + 1\right) }^{n}\right\rbrack }^{\left( n\right) } $$

$$ = \frac{1}{{2}^{n}n!}\left\{ {{\left( x - 1\right) }^{n}{\left\lbrack {\left( x + 1\right) }^{n}\right\rbrack }^{\left( n\right) } + {C}_{n}^{1}{\left\lbrack {\left( x - 1\right) }^{n}\right\rbrack }^{\prime }{\left\lbrack {\left( x + 1\right) }^{n}\right\rbrack }^{\left( n - 1\right) }}\right. $$

$$ + \cdots + {\left\lbrack {\left( x - 1\right) }^{n}\right\rbrack }^{\left( n\right) }{\left( x + 1\right) }^{n}\} $$

$$ = \frac{1}{{2}^{n}n!}\left\{ {n!{\left( x - 1\right) }^{n} + \cdots + n!{\left( x + 1\right) }^{n}}\right\} . $$

括弧中除首末两项外其余项均含有 $\left( {x + 1}\right) \left( {x - 1}\right)$ ,所以

$$ {P}_{n}\left( 1\right) = 1,\;{P}_{n}\left( {-1}\right) = {\left( -1\right) }^{n}. $$

(3) 令 $y = {\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}$ ,则有

$$ {y}^{\prime } = {2nx}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n - 1} \Rightarrow \left( {{x}^{2} - 1}\right) {y}^{\prime } = {2nxy}. $$

在上式两端对 $x$ 求导 $n + 1$ 次,得

$$ \left( {{x}^{2} - 1}\right) {y}^{\left( n + 2\right) } + 2\left( {n + 1}\right) x{y}^{\left( n + 1\right) } + n\left( {n + 1}\right) {y}^{\left( n\right) } $$

$$ = {2nx}{y}^{\left( n + 1\right) } + {2n}\left( {n + 1}\right) {y}^{\left( n\right) }, $$

即

$$ \left( {{x}^{2} - 1}\right) {y}^{\left( n + 2\right) } + {2x}{y}^{\left( n + 1\right) } - n\left( {n + 1}\right) {y}^{\left( n\right) } = 0. $$

注意到 ${y}^{\left( n\right) } = {2}^{n} \cdot n!{P}_{n}\left( x\right)$ ,即得

$$ \left( {{x}^{2} - 1}\right) {P}_{n}^{\prime \prime }\left( x\right) + {2x}{P}_{n}^{\prime }\left( x\right) - n\left( {n + 1}\right) {P}_{n}\left( x\right) = 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明最高次项系数
注意到 (x^2-1)^n 的最高次项为 x^{2n}，求 n 阶导数后，最高次项系数为 2n(2n-1)...(n+1) = (2n)!/n!。再除以 2^n n! 得到系数 (2n)!/(2^n (n!)^2)。
公式：\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} x^{2n} = \frac{(2n)!}{n!} x^n
提示：求导时只保留最高次项即可。
步骤 2/3
目标：证明 P_n(1)=1 和 P_n(-1)=(-1)^n
将 (x^2-1)^n 分解为 (x-1)^n (x+1)^n，利用莱布尼茨公式展开。代入 x=1 时，只有第一项非零，值为 1；代入 x=-1 时，只有最后一项非零，值为 (-1)^n。
公式：P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{k=0}^n C_n^k [(x-1)^n]^{(k)} [(x+1)^n]^{(n-k)}
提示：注意 (x-1)^n 在 x=1 处只有零阶导数非零，类似地 (x+1)^n 在 x=-1 处。
步骤 3/3
目标：证明勒让德微分方程
令 y=(x^2-1)^n，则 y' = 2nx(x^2-1)^{n-1}，两边乘以 (x^2-1) 得 (x^2-1)y' = 2nxy。对等式两边求 n+1 阶导数，利用莱布尼茨公式整理得到 (x^2-1)y^{(n+2)} + 2x y^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} = 0。代入 y^{(n)} = 2^n n! P_n(x) 即得。
公式：(x^2-1)y' = 2nxy \Rightarrow (x^2-1)y^{(n+2)} + 2x y^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} = 0
提示：求导时注意莱布尼茨公式的应用，并合并同类项。

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