方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内可导,且 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| < 1$ ,若 $f\left( x\right)$ 在(a, b) 内有实根,而 $\alpha \in \left( {a,b}\right)$ 是根的一个近似值. 求证: $\beta \overset{\text{ 定义 }}{ = }f\left( \alpha \right)$ 是比 $\alpha$ 更好的近似值.

💡 答案解析

证 设方程 $f\left( x\right) = x$ 的精确根为 ${x}_{0}$ ,则 $f\left( {x}_{0}\right) = {x}_{0}$ ,于是在 $\left\lbrack {\alpha ,{x}_{0}}\right\rbrack$ 上或在 $\left\lbrack {{x}_{0},\alpha }\right\rbrack$ 上用微分中值定理,有

$$ \exists \xi \in \left( {\min \left\{ {{x}_{0},\alpha }\right\} ,\max \left\{ {{x}_{0},\alpha }\right\} }\right) , $$

使得

$$ \left| {\beta - {x}_{0}}\right| = \left| {f\left( \alpha \right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left| {{f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right| \left| {\alpha - {x}_{0}}\right| < \left| {\alpha - {x}_{0}}\right| . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：明确要证明的目标：β = f(α) 比 α 更接近方程的根 x0。
设方程 f(x)=x 的精确根为 x0，则 f(x0)=x0。需要证明 |β - x0| < |α - x0|。
公式：f(x0)=x0
提示：注意方程形式为 f(x)=x，根是函数的不动点。
步骤 2/3
目标：应用微分中值定理。
由于 f 在 (a,b) 内可导，且 α 和 x0 都在 (a,b) 内，在区间 [α, x0] 或 [x0, α] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ 介于 α 与 x0 之间，使得 f(α)-f(x0)=f'(ξ)(α-x0)。
公式：f(α)-f(x0)=f'(ξ)(α-x0)
提示：中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里满足条件。
步骤 3/3
目标：利用已知条件 |f'(x)|<1 进行放缩。
由 |f'(ξ)|<1，得到 |f(α)-f(x0)| = |f'(ξ)|·|α-x0| < |α-x0|。而 β=f(α)，f(x0)=x0，所以 |β-x0| < |α-x0|。
公式：|β-x0| = |f(α)-f(x0)| = |f'(ξ)|·|α-x0| < |α-x0|
提示：注意绝对值处理，确保不等式方向正确。

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