方企勤 第二章 一元函数微分学 第9题
📝 题目
例 9 设函数 $f\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,在开区间(a, b)内二阶可导,并且曲线和连接点 $\left( {a,f\left( a\right) }\right)$ 与 $\left( {b,f\left( b\right) }\right)$ 的直线段在(a, b)内相交. 求证: $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0$ .
分析 所给命题的结论是二阶导函数的零点存在性问题, 显然不能直接由罗尔定理来推证. 但是 ${f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0$ 可以理解为
$$ {\left. {\left( {f}^{\prime }\left( x\right) \right) }^{\prime }\right| }_{x = \xi } = 0, $$
即可转化为导函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的导函数零点问题. 这启发我们能否将问题转化为 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在某一个辅助区间上满足罗尔定理条件. 于是问题归结为寻求两点 ${\xi }_{1},{\xi }_{2}$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( {\xi }_{1}\right) = {f}^{\prime }\left( {\xi }_{2}\right)$ . 只要作出问题的草图, 不难发现,在 $\left\lbrack {a,c}\right\rbrack$ 上和在 $\left\lbrack {c,b}\right\rbrack$ 上分别应用拉格朗日中值定理即可得到这样的 ${\xi }_{1},{\xi }_{2}$ . 换句话说,区间 $\left\lbrack {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right\rbrack$ 便是我们要构造的辅助区间.
💡 答案解析
证 设 $c \in \left( {a,b}\right)$ 是曲线与弦交点的横坐标. 根据拉格朗日中值定理, 我们有
$\exists {\xi }_{1} \in \left( {a,c}\right)$ ,使得
$$ {f}^{\prime }\left( {\xi }_{1}\right) = \frac{f\left( c\right) - f\left( a\right) }{c - a} = \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a}; $$
$\exists {\xi }_{2} \in \left( {c,b}\right)$ ,使得
$$ {f}^{\prime }\left( {\xi }_{2}\right) = \frac{f\left( b\right) - f\left( c\right) }{b - c} = \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a}. $$
由此推出 ${f}^{\prime }\left( {\xi }_{1}\right) = {f}^{\prime }\left( {\xi }_{2}\right)$ . 又因为 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right\rbrack$ 上连续,在 $\left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right)$ 上可导,所以对 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right\rbrack$ 上用罗尔定理,可知
$$ \exists \xi \in \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right) \subset \left( {a,b}\right) , $$
使得 ${f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0$ .