方企勤 第二章 一元函数微分学 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 求证:

(1) ${\mathrm{e}}^{x} > 1 + x\left( {x \neq 0}\right)$ ;

(2)序列 ${x}_{n} = \left( {1 + \frac{1}{2}}\right) \left( {1 + \frac{1}{{2}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{1}{{2}^{n}}}\right)$ 的极限存在.

💡 答案解析

证 (1) 令 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - 1 - x$ ,则有 $f\left( 0\right) = 0$ ,且

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - 1 \Rightarrow x{f}^{\prime }\left( x\right) = x\left( {{\mathrm{e}}^{x} - 1}\right) > 0\;\left( {\forall x \neq 0}\right) $$

$$ \Rightarrow x = 0\text{ 是最小值点 } \Rightarrow f\left( x\right) > f\left( 0\right) = 0 $$

$$ \Rightarrow {\mathrm{e}}^{x} > 1 + x\;\left( {\forall x \neq 0}\right) . $$

(2)显然序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 单调递增,为了证明极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在,只要肯定序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有上界即可. 为此利用第 (1) 小题,有

$$ {x}_{n} < {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{{2}^{2}}} \cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{{2}^{3}}} \cdot \cdots \cdot {\mathrm{e}}^{{2}^{n}} = {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{{2}^{2}} + \frac{1}{{2}^{3}} + \cdots + \frac{1}{{2}^{n}}} < {\mathrm{e}}^{1} = \mathrm{e}. $$

\subsubsection{三、函数最值应用题}

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明不等式 e^x > 1+x (x≠0)
构造函数 f(x)=e^x-1-x，计算 f(0)=0，求导得 f'(x)=e^x-1。分析 xf'(x)=x(e^x-1)>0 对任意 x≠0 成立，因此 x=0 是 f(x) 的最小值点，故 f(x)>f(0)=0，即 e^x>1+x。
公式：f(x)=e^x-1-x, f'(x)=e^x-1, xf'(x)>0 (x≠0)
提示：利用导数判断单调性，注意 x=0 是唯一驻点且为最小值点。
步骤 2/2
目标：证明序列 x_n 极限存在
首先说明序列单调递增（显然）。然后利用第(1)小题的不等式：1+1/2^k < e^{1/2^k}，将 x_n 放缩为 e^{1/2+1/2^2+...+1/2^n} < e^1 = e，因此序列有上界。单调有界序列必有极限。
公式：x_n = ∏_{k=1}^n (1+1/2^k) < ∏_{k=1}^n e^{1/2^k} = e^{∑_{k=1}^n 1/2^k} < e
提示：关键是将乘积转化为指数和，利用等比数列求和。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第7题 返回列表 第9题 →