方企勤 第二章 一元函数微分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 为(a, b)上的凹函数,求证:

$$ h\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\max \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) $$

也是(a, b)上的凹函数.

💡 答案解析

证 设 ${t}_{1},{t}_{2} > 0,{t}_{1} + {t}_{2} = 1$ ,则对 $\forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,b}\right)$ ,有

$$ f\left( {{t}_{1}{x}_{1} + {t}_{2}{x}_{2}}\right) \leq {t}_{1}f\left( {x}_{1}\right) + {t}_{2}f\left( {x}_{2}\right) \leq {t}_{1}h\left( {x}_{1}\right) + {t}_{2}h\left( {x}_{2}\right) , $$

$$ g\left( {{t}_{1}{x}_{1} + {t}_{2}{x}_{2}}\right) \leq {t}_{1}g\left( {x}_{1}\right) + {t}_{2}g\left( {x}_{2}\right) \leq {t}_{1}h\left( {x}_{1}\right) + {t}_{2}h\left( {x}_{2}\right) , $$

由此推出

$$ h\left( {{t}_{1}{x}_{1} + {t}_{2}{x}_{2}}\right) = \max \left( {f\left( {{t}_{1}{x}_{1} + {t}_{2}{x}_{2}}\right) ,g\left( {{t}_{1}{x}_{1} + {t}_{2}{x}_{2}}\right) }\right) $$

$$ \leq {t}_{1}h\left( {x}_{1}\right) + {t}_{2}h\left( {x}_{2}\right) . $$

由凹函数定义,即知 $h\left( x\right)$ 是(a, b)上的凹函数.

\subsubsection{二、函数作图}

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设定参数和任意两点
设 t1, t2 > 0 且 t1 + t2 = 1，对任意 x1, x2 ∈ (a, b)。
提示：凸组合系数满足和为1。
步骤 2/5
目标：利用f和g的凹性得到不等式
由f和g是凹函数，有 f(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 f(x1) + t2 f(x2) 和 g(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 g(x1) + t2 g(x2)。
公式：f(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 f(x1) + t2 f(x2)
提示：凹函数定义：f(λx+(1-λ)y) ≥ λf(x)+(1-λ)f(y) 注意方向，但这里是凹函数，所以不等式方向是≤？实际上凹函数定义是f(λx+(1-λ)y) ≥ λf(x)+(1-λ)f(y)，但题目中写的是≤，可能题目中凹函数定义是下凸？通常凹函数是向下凸，即二阶导小于0，但这里不等式方向需要根据题目确认。原答案中写的是≤，所以按题目定义。
步骤 3/5
目标：用h(x)放缩
由于 h(x) = max{f(x), g(x)}，所以 f(x1) ≤ h(x1), f(x2) ≤ h(x2)，因此 t1 f(x1) + t2 f(x2) ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2)。同理对g。
公式：f(x1) ≤ h(x1), f(x2) ≤ h(x2)
提示：最大值函数大于等于每个分量。
步骤 4/5
目标：得到h在凸组合点的上界
由前两步，有 f(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2) 和 g(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2)。因此 h(t1 x1 + t2 x2) = max{f(t1 x1 + t2 x2), g(t1 x1 + t2 x2)} ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2)。
公式：h(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2)
提示：取最大值后不等式方向不变。
步骤 5/5
目标：由凹函数定义得出结论
对任意 x1, x2 和 t1, t2 > 0 且 t1 + t2 = 1，有 h(t1 x1 + t2 x2) ≤ t1 h(x1) + t2 h(x2)，所以 h(x) 是 (a,b) 上的凹函数。
提示：注意凹函数定义中不等式方向与题目一致。

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