方企勤 第二章 一元函数微分学 第4题

解 令 $f\left( x\right) = {x}^{2}{\mathrm{e}}^{-x}$ ,则 $y = f\left( x\right)$ 的定义域为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且

$$ f\left( 0\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = + \infty , $$

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{x\left( {2 - x}\right) }{{\mathrm{e}}^{x}},\;{f}^{\prime }\left( x\right) = 0 \Rightarrow x = 0,x = 2, $$

$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{{x}^{2} - {4x} + 2}{{\mathrm{e}}^{x}},\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 0 \Rightarrow {x}_{ \pm } = 2 \pm \sqrt{2}. $$

总结上述结果列成表 2.2 .

表 2.2

\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $\left( {-\infty ,0}\right)$ & 0 & (0, x -) & $x -$ & (x - ,2) & 2 & $\left( {2,x + }\right)$ & $x +$ & $\left( {x + , + \infty }\right)$ \\ \cline{1-10} ${f}^{\prime }\left( x\right)$ & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \cline{1-10} ${f}^{\prime \prime }\left( x\right)$ & + & + & + & 0 & + & - & - & 0 & + \\ \cline{1-10} $f\left( x\right)$ & ↘ 凹 & 0 极小值 & ↗ 凹 & $\left( {x - ,f\left( {x - }\right) }\right)$ 拐点 & ↗ 凸 & $\frac{4}{{\mathrm{e}}^{2}}$ 极大值 & ↘ 凸 & $\left( {x + f\left( {x + }\right) }\right)$ 拐点 & ↘ 四 \\ \cline{1-10} \hline \end{tabular} } \end{center}

根据这个表容易作出函数 $y = f\left( x\right)$ 的图形 (见图 2.6),对不同的 $a$ 值,考查平行于 $x$ 轴的直线 $y = 1/a$ 与曲线 $y = f\left( x\right)$ 的交点个数, 可得到如下结论:

\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/013.jpg} \end{center} \hspace*{3em}

图 2.6

(1)当 $0 < a < {\mathrm{e}}^{2}/4$ 时,方程 ${\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2}$ 只有一个根,此根位于 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 内;

(2)当 $a = {\mathrm{e}}^{2}/4$ 时,方程 ${\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2}$ 有两个根,其一位于 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 内,另一个是 $x = 2$ ;

(3)当 $a > {\mathrm{e}}^{2}/4$ 时,方程 ${\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2}$ 有三个根,其一位于 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 内,另外两个分别位于(0,2)与 $\left( {2, + \infty }\right)$ 内.