方企勤 第二章 一元函数微分学 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内可导,且 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 单调. 求证: ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 (a, b)内连续.

💡 答案解析

证 $\forall {x}_{0} \in \left( {a,b}\right)$ ,由洛必达法则及 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的单调性,有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} + 0}\right) . \tag{5.1} $$

又由条件 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)$ 存在,故从 (5.1) 式得 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} + 0}\right)$ .

同理可推出 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} - 0}\right)$ . 于是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处连续. 由 ${x}_{0}$ 的任意性,即得 ${f}^{\prime }\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right)$ .

评注 根据达布定理,导函数不可能有可去间断点和第一类间断点. 由此可见, 本题结论是由两方面结果合成的; 其一是导函数不可能有可去间断点和第一类间断点; 其二是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 单调的条件保证, 若有间断点, 只能是可去间断点和第一类间断点. 从而不会出现间断点,也就是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 连续.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：证明右极限等于函数值
任取 x0 ∈ (a,b)，考虑右极限。由洛必达法则及 f'(x) 的单调性，有 lim_{x→x0+} (f(x)-f(x0))/(x-x0) = lim_{x→x0+} f'(x) = f'(x0+0)。
公式：lim_{x→x0+} (f(x)-f(x0))/(x-x0) = lim_{x→x0+} f'(x) = f'(x0+0)
提示：使用洛必达法则时需注意分子分母同时趋于0，且分母导数不为0。
步骤 2/4
目标：利用导数存在性得到右连续
由于 f'(x0) 存在，即 lim_{x→x0} (f(x)-f(x0))/(x-x0) = f'(x0)，特别地右极限等于 f'(x0)，故 f'(x0) = f'(x0+0)。
公式：f'(x0) = f'(x0+0)
提示：导数存在意味着左右导数相等且等于该点导数值。
步骤 3/4
目标：类似证明左连续
同理，考虑左极限，由洛必达法则及单调性得 lim_{x→x0-} (f(x)-f(x0))/(x-x0) = lim_{x→x0-} f'(x) = f'(x0-0)，结合导数存在得 f'(x0) = f'(x0-0)。
公式：f'(x0) = f'(x0-0)
提示：左极限过程类似，注意方向。
步骤 4/4
目标：得出连续结论
由 f'(x0) = f'(x0+0) = f'(x0-0) 知 f'(x) 在 x0 处连续。由 x0 任意性，f'(x) 在 (a,b) 内连续。
提示：连续的定义是极限值等于函数值。

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