方企勤 第二章 一元函数微分学 第2题
📝 题目
例 2 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack a, + \infty )$ 上有界, ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 存在,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) =$ $b$ . 求证: $b = 0$ .
💡 答案解析
证 一方面,由洛必达法则, $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) = b$ ; 另一方面,由 $f\left( x\right)$ 有界,知 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = 0$ ,从而 $b = 0$ .
提问 已知函数 $y = f\left( x\right)$ 在 $\lbrack a, + \infty )$ 内有界且可导,并且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0, $$
是否一定有 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) = 0$ ?
解答 不一定. 例如,函数 $f\left( x\right) = \frac{\sin \left( {x}^{2}\right) }{x}$ 在 $\lbrack 1, + \infty )$ 内有界. 可导,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0$ ,但
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = - \frac{1}{{x}^{2}}\sin \left( {x}^{2}\right) + 2\cos \left( {x}^{2}\right) \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) \text{ 不存在. } $$