方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题
📝 题目
例 3 设 $f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 在(a, b)内除点 ${x}_{0}$ 外都存在,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)$ 存在. 求证: ${f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)$ 存在,且 ${f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)$ .
💡 答案解析
证 因为 $f\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处连续,所以 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}\left( {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right) = 0$ . 又因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {{x}_{0},b}\right)$ 内可导,则由洛必达法则,有
$$ {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \overset{\text{ 右导数定义 }}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\overset{\frac{0}{0}\text{ 型 }}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right) . $$
提问 本题的逆命题是否正确? 即已知函数在点 ${x}_{0}$ 处的右导数 ${f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)$ 存在,问导函数在点 ${x}_{0}$ 处的右极限是否存在?
解答 结论不一定对. 例如
$$ f\left( x\right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x} & \left( {x \neq 0}\right) \\ 0 & \left( {x = 0}\right) \end{array} \Rightarrow {f}_{ + }^{\prime }\left( 0\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right) = 0,}\right. $$
但是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的右极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}\left\lbrack {{2x}\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}}\right\rbrack$ 不存在. 对于导函数连续的函数,当然逆命题是正确的.