方企勤 第二章 一元函数微分学 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{{x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-x}$ .

💡 答案解析

解法 1 令 $f\left( x\right) = {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{{x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-x}$ ,则有

$$ \ln f\left( x\right) = {x}^{2}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - x\overset{t = \frac{1}{x}}{ = }\frac{\ln \left( {1 + t}\right) - t}{{t}^{2}}. $$

注意到当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $t \rightarrow 0 + 0$ . 故有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\ln f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0 + 0}}\frac{\ln \left( {1 + t}\right) - t}{{t}^{2}}\text{ ，洛必达法则 }\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0 + 0}}\frac{\frac{1}{1 + t} - 1}{2t} = - \frac{1}{2}. $$

因此 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{\ln f\left( x\right) } = {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

解法 2 注意到当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $\frac{1}{x}$ 是无穷小量.

$$ \ln f\left( x\right) = {x}^{2}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - x\overset{\text{ 泰勒公式 }}{ = }{x}^{2}\left\lbrack {\frac{1}{x} - \frac{1}{2{x}^{2}} + o\left( \frac{1}{{x}^{2}}\right) }\right\rbrack - x $$

$$ = - \frac{1}{2} + o\left( 1\right) . $$

由此即得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{\ln f\left( x\right) } = {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将极限转化为求对数极限
令 f(x) = (1+1/x)^{x^2} e^{-x}，则 ln f(x) = x^2 ln(1+1/x) - x。令 t=1/x，则当 x→+∞ 时 t→0+，ln f(x) = (ln(1+t)-t)/t^2。
公式：ln f(x) = x^2 ln(1+1/x) - x = (ln(1+t)-t)/t^2
提示：取对数后变量代换简化表达式
步骤 2/5
目标：用洛必达法则求对数极限
求极限 lim_{t→0+} (ln(1+t)-t)/t^2，应用洛必达法则：分子分母分别求导得 lim_{t→0+} (1/(1+t)-1)/(2t) = lim_{t→0+} (-1/(2(1+t))) = -1/2。
公式：lim_{t→0+} (ln(1+t)-t)/t^2 = lim_{t→0+} (1/(1+t)-1)/(2t) = -1/2
提示：洛必达法则适用条件：0/0型
步骤 3/5
目标：还原原极限
由 lim ln f(x) = -1/2，得 lim f(x) = e^{-1/2}。
公式：lim f(x) = e^{lim ln f(x)} = e^{-1/2}
提示：指数函数的连续性
步骤 4/5
目标：解法2：使用泰勒公式
当 x→+∞ 时，1/x 是无穷小，ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + o(1/x^2)。代入 ln f(x) = x^2 ln(1+1/x) - x = x^2[1/x - 1/(2x^2) + o(1/x^2)] - x = -1/2 + o(1)。
公式：ln(1+u) = u - u^2/2 + o(u^2) (u→0)
提示：泰勒展开到足够阶数
步骤 5/5
目标：由对数极限得原极限
由 ln f(x) → -1/2，得 f(x) → e^{-1/2}。
公式：lim f(x) = e^{-1/2}
提示：同上

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