方企勤 第二章 一元函数微分学 第8题
📝 题目
例 8 设 $0 < x < \frac{\pi }{2}$ ,求证: $\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}$ .
💡 答案解析
证 先证原不等式两边取对数得到的不等式, 即证
$$ \ln x - \ln \sin x < \ln \tan x - \ln x $$
或
$$ \ln \sin x + \ln \tan x - 2\ln x > 0\;\left( {0 < x < \pi /2}\right) . \tag{6. 12} $$
为此令 $f\left( x\right) = \ln \sin x + \ln \tan x - 2\ln x$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = 2\cot x + \tan x - \frac{2}{x} = \frac{x{\cos }^{2}x - 2\sin x\cos x + x}{x\sin x\cos x}. $$
(6.13)
注意到在 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 中,分母符号可确定是正的,只要考虑分子的符号. 令
$$ g\left( x\right) = x{\cos }^{2}x - 2\sin x\cos x + x, $$
则有
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = 3{\sin }^{2}x - {2x}\sin x\cos x $$
$$ = \sin x\cos x\left( {3\tan x - {2x}}\right) > 0 $$
$$ \Rightarrow g\left( x\right) > g\left( 0\right) = 0\text{ . } $$
再由 (6.13) 式, 即得
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) > 0 \Rightarrow f\left( x\right) \uparrow \Rightarrow f\left( x\right) > 0. $$
事实上, $\forall x > 0$ ,取 $0 < \varepsilon < x$ ,有
$$ f\left( x\right) > f\left( \varepsilon \right) > f\left( \frac{\varepsilon }{n}\right) \overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow }f\left( x\right) > f\left( \varepsilon \right) \geq f\left( {0 + 0}\right) = 0. $$
再利用函数 ${\mathrm{e}}^{t}$ 的严格递增性,由不等式 (6.12) 推出
$$ \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}}\right) . $$