方企勤 第三章 一元函数积分学 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 求不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + a\cos x}\left( {a > 0}\right)$ .

💡 答案解析

解 当 $a = 1$ 时,

$$ \text{ 原式 } = {\int }_{\overline{{\cos }^{2}\frac{x}{2}}}^{\mathrm{d}\left( \frac{x}{2}\right) } = \tan \frac{x}{2} + C. $$

当 $a \neq 1$ . 时,

$$ \text{ 原式 } = \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + a\left( {{\cos }^{2}\frac{x}{2} - {\sin }^{2}\frac{x}{2}}\right) } $$

$$ = \int \frac{\mathrm{d}\left( {\tan \frac{x}{2}}\right) }{\left( {1 + a}\right) + \left( {1 - a}\right) {\tan }^{2}\frac{x}{2}} $$

$$ = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}{\sqrt{1 - {a}^{2}}}\arctan \sqrt{\frac{1 - a}{1 + a}}\tan \frac{x}{2} + C, & 0 < a < 1, \\ \frac{2}{\sqrt{{a}^{2} - 1}}\ln \left| \frac{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}\tan \frac{x}{2}}\right| + C, & a > 1. \end{array}\right. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分类讨论参数a的值
由于被积函数含有参数a，需要根据a的不同取值分别处理。首先考虑a=1的特殊情况。
提示：注意a>0，但a=1时积分形式简化。
步骤 2/5
目标：当a=1时，化简被积函数并积分
当a=1时，1+cos x = 2cos^2(x/2)，因此原积分化为∫ dx/(2cos^2(x/2)) = ∫ (1/2)sec^2(x/2) dx = ∫ d(x/2)/cos^2(x/2) = tan(x/2) + C。
公式：1+cos x = 2cos^2(x/2)
提示：利用半角公式简化分母。
步骤 3/5
目标：当a≠1时，使用万能代换
令t = tan(x/2)，则sin x = 2t/(1+t^2)，cos x = (1-t^2)/(1+t^2)，dx = 2/(1+t^2) dt。代入原积分得∫ [2/(1+t^2)] / [1 + a*(1-t^2)/(1+t^2)] dt = ∫ 2 dt / [(1+t^2) + a(1-t^2)] = ∫ 2 dt / [(1+a) + (1-a)t^2]。
公式：万能代换：t = tan(x/2)
提示：注意分母整理成关于t的二次式。
步骤 4/5
目标：对积分结果进行分类讨论
积分∫ 2 dt / [(1+a) + (1-a)t^2] 的形式取决于系数(1-a)的符号。当00，可写成∫ 2 dt / [(1+a) + (1-a)t^2] = 2/(1+a) ∫ dt / [1 + ((1-a)/(1+a)) t^2] = 2/√(1-a^2) arctan(√((1-a)/(1+a)) t) + C。当a>1时，1-a<0，令k = a-1>0，则分母为(1+a) - k t^2，积分结果为2/√(a^2-1) ln| (√(a+1) + √(a-1) t) / (√(a+1) - √(a-1) t) | + C。
公式：∫ dt/(A+Bt^2) 的积分公式
提示：注意区分B的正负，使用反正切或对数形式。
步骤 5/5
目标：回代变量并写出最终结果
将t = tan(x/2)代回，得到最终答案。
提示：注意绝对值和对数形式的正确书写。

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