方企勤 第三章 一元函数积分学 第7题
📝 题目
例 7 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{{x}^{2} - 1}}}$ .
💡 答案解析
解法 1 因为被积函数的定义域为 $\left| x\right| > 1$ ,所以
$$ \text{ 原式 } = \frac{x = \frac{1}{t}}{\mp \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - {t}^{2}}} = \mp \arcsin t + C} $$
$$ = \left\{ \begin{array}{ll} - \arcsin \frac{1}{x} + C, & x > 1, \\ \arcsin \frac{1}{x} + C, & x < - 1. \end{array}\right. $$
解法 2
$$ \text{ 原式 } = \int \frac{x\mathrm{\;d}x}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2} - 1}} = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {{x}^{2} - 1}\right) }{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2} - 1}} $$
$$ = \int \frac{\mathrm{d}\sqrt{{x}^{2} - 1}}{{x}^{2} - 1 + 1} = \arctan \sqrt{{x}^{2} - 1} + C. $$
解法 3
$$ \text{ 原式 }\frac{x = \sec t}{}\int \frac{\sec t \cdot \tan t}{\sec t \cdot \left| {\tan t}\right| }\mathrm{d}t = \pm \int \mathrm{d}t $$
$$ = \left| t\right| + C = \left| {\arccos \frac{1}{x}}\right| + C. $$
评注 本题三种解法给出了三种不同形式的答案, 这并没有矛盾. 事实上, 一个函数若有原函数, 则它必然有无穷多个原函数, 但是它们任意两个之差是一个常数.