方企勤 第三章 一元函数积分学 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 设 $a < b$ ,求 $\displaystyle \int \sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }\mathrm{d}x$ .

💡 答案解析

解法 1 由配方得到

$$ \left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) = {R}^{2} - {\left( x - \frac{a + b}{2}\right) }^{2}, $$

其中 $R\overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{b - a}{2}$ . 作变量代换 $x = u + \frac{a + b}{2}$ ,则有

$$ \text{ 原式 } = \int \sqrt{{R}^{2} - {u}^{2}}\frac{u = R\sin t}{}{R}^{2}\int {\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$

$$ = {R}^{2}\int \frac{1 + \cos {2t}}{2}\mathrm{\;d}t = {R}^{2}\left( {\frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin {2t}}\right) + C $$

$$ = \frac{{R}^{2}}{2}t + \frac{{R}^{2}}{2}\sin t\cos t + C $$

$$ = \frac{{R}^{2}}{2}\arcsin \frac{u}{R} + \frac{u}{2}\sqrt{{R}^{2} - {u}^{2}} + C $$

$$ = \frac{1}{4}{\left( b - a\right) }^{2}\arcsin \frac{{2x} - \left( {a + b}\right) }{b - a} $$

$$ + \frac{{2x} - \left( {a + b}\right) }{4}\sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) } + C. $$

解法 2 因为被积函数的定义域为(a, b),所以可设 $x - a =$ $\left( {b - a}\right) {\sin }^{2}t\left( {0 < t < \frac{\pi }{2}}\right)$ . 从而

$$ \sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) } = \left( {b - a}\right) \sin t\cos t, $$

$$ \mathrm{d}x = 2\left( {b - a}\right) \sin t\cos t\mathrm{\;d}t, $$

$$ \int \sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }\mathrm{d}x = 2{\left( b - a\right) }^{2}\int {\sin }^{2}t{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$

$$ = \frac{1}{2}{\left( b - a\right) }^{2}\int {\sin }^{2}{2t}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{4}{\left( b - a\right) }^{2}\int \left( {1 - \cos {4t}}\right) \mathrm{d}t $$

$$ = \frac{1}{4}{\left( b - a\right) }^{2}\left( {t - \sin {4t}}\right) + C. \tag{1.1} $$

又注意到

$$ \sin {4t} = 4\sin t\cos t\left( {1 - 2{\sin }^{2}t}\right) $$

$$ = 4\sqrt{\frac{x - a}{b - a}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x - a}{b - a}}\left( {1 - 2 \cdot \frac{x - a}{b - a}}\right) $$

$$ = - 4\frac{{2x} - \left( {a + b}\right) }{{\left( b - a\right) }^{2}}\sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }, $$

故有

$$ \int \sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }\mathrm{d}x = \frac{1}{4}{\left( b - a\right) }^{2}\arcsin \sqrt{\frac{x - a}{b - a}} $$

$$ + \frac{{2x} - \left( {a + b}\right) }{4}\sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) } + C. $$

\subsubsection{三、联合求解法}

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：配方并引入变量R
将根号内的表达式配方：$(x-a)(b-x) = R^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2$，其中 $R = \frac{b-a}{2}$。
公式：$(x-a)(b-x) = R^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2$
提示：配方后转化为平方差形式，便于三角代换。
步骤 2/6
目标：变量代换简化积分
令 $u = x - \frac{a+b}{2}$，则 $\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$，积分变为 $\int \sqrt{R^2 - u^2} \, \mathrm{d}u$。
公式：$u = x - \frac{a+b}{2}$
提示：平移变量使积分区间对称。
步骤 3/6
目标：三角代换求解积分
令 $u = R\sin t$，则 $\mathrm{d}u = R\cos t \, \mathrm{d}t$，$\sqrt{R^2 - u^2} = R\cos t$，积分化为 $R^2 \int \cos^2 t \, \mathrm{d}t$。
公式：$u = R\sin t$，$\sqrt{R^2 - u^2} = R\cos t$
提示：三角代换是处理平方根积分的常用方法。
步骤 4/6
目标：计算三角积分
利用倍角公式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，积分得 $R^2 \left( \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right) + C$。
公式：$\int \cos^2 t \, \mathrm{d}t = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C$
提示：使用倍角公式降低幂次。
步骤 5/6
目标：回代变量
由 $u = R\sin t$ 得 $t = \arcsin\frac{u}{R}$，$\sin t = \frac{u}{R}$，$\cos t = \sqrt{1-\frac{u^2}{R^2}} = \frac{\sqrt{R^2-u^2}}{R}$，代入得 $\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{u}{R} + \frac{u}{2}\sqrt{R^2-u^2} + C$。
公式：$\sin 2t = 2\sin t \cos t = \frac{2u\sqrt{R^2-u^2}}{R^2}$
提示：注意 $\sin 2t$ 的表达式。
步骤 6/6
目标：代回原变量并化简
将 $u = x - \frac{a+b}{2}$ 和 $R = \frac{b-a}{2}$ 代入，得到最终结果：$\frac{1}{4}(b-a)^2 \arcsin\frac{2x-(a+b)}{b-a} + \frac{2x-(a+b)}{4}\sqrt{(x-a)(b-x)} + C$。
公式：最终表达式
提示：注意系数化简。

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