方企勤 第三章 一元函数积分学 第9题

教材习题

📝 题目

例 9 求不定积分 $\displaystyle{I = \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}},J = \int \frac{{x}^{2}}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x}$ .

💡 答案解析

解 $\displaystyle{I + J = \int \frac{1 + {x}^{2}}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 + \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} + 1}\mathrm{\;d}x}$

$$ = \int \frac{\mathrm{d}\left( {x - \frac{1}{x}}\right) }{{\left( x - \frac{1}{x}\right) }^{2} + 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{{x}^{2} - 1}{\sqrt{3}x} + C. $$

(1.2)

$$ - I + J = \int \frac{{x}^{2} - 1}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 - \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} + 1}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \int \frac{\mathrm{d}\left( {x + \frac{1}{x}}\right) }{{\left( x + \frac{1}{x}\right) }^{2} - 1} = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{x + \frac{1}{x} - 1}{x + \frac{1}{x} + 1}\right| + C $$

$$ = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{{x}^{2} - x + 1}{{x}^{2} + x + 1}\right| + C. \tag{1.3} $$

联立 (1.2) 与 (1.3) 式解得

$$ I = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan \frac{{x}^{2} - 1}{\sqrt{3}x} - \frac{1}{4}\ln \left| \frac{{x}^{2} - x + 1}{{x}^{2} + x + 1}\right| + C, $$

$$ J = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan \frac{{x}^{2} - 1}{\sqrt{3}x} + \frac{1}{4}\ln \left| \frac{{x}^{2} - x + 1}{{x}^{2} + x + 1}\right| + C. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算 I+J
将 I 和 J 相加，得到 ∫(1+x^2)/(1+x^2+x^4) dx。分子分母同除以 x^2，化为 ∫(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2+1) dx。注意到 d(x-1/x) = (1+1/x^2)dx，且 x^2+1/x^2 = (x-1/x)^2+2，因此分母变为 (x-1/x)^2+3。积分得 (1/√3) arctan((x-1/x)/√3) + C，即 (1/√3) arctan((x^2-1)/(√3 x)) + C。
公式：I+J = ∫(1+x^2)/(1+x^2+x^4) dx = ∫ d(x-1/x)/((x-1/x)^2+3) = (1/√3) arctan((x^2-1)/(√3 x)) + C
提示：分子分母同除以 x^2 是处理此类有理函数积分的常用技巧。
步骤 2/3
目标：计算 -I+J
将 J 减去 I，得到 ∫(x^2-1)/(1+x^2+x^4) dx。分子分母同除以 x^2，化为 ∫(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2+1) dx。注意到 d(x+1/x) = (1-1/x^2)dx，且 x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2-2，因此分母变为 (x+1/x)^2-1。积分得 (1/2) ln| (x+1/x-1)/(x+1/x+1) | + C，化简为 (1/2) ln| (x^2-x+1)/(x^2+x+1) | + C。
公式：-I+J = ∫(x^2-1)/(1+x^2+x^4) dx = ∫ d(x+1/x)/((x+1/x)^2-1) = (1/2) ln| (x^2-x+1)/(x^2+x+1) | + C
提示：注意符号，d(x+1/x) 对应分子 1-1/x^2。
步骤 3/3
目标：联立求解 I 和 J
将 I+J 和 -I+J 视为关于 I 和 J 的线性方程组，解之得：I = (1/2)[(I+J) - (-I+J)]，J = (1/2)[(I+J) + (-I+J)]。代入结果并整理，得到 I 和 J 的表达式。
公式：I = (1/(2√3)) arctan((x^2-1)/(√3 x)) - (1/4) ln| (x^2-x+1)/(x^2+x+1) | + C; J = (1/(2√3)) arctan((x^2-1)/(√3 x)) + (1/4) ln| (x^2-x+1)/(x^2+x+1) | + C
提示：注意常数 C 的合并，每个积分都有独立的常数，但最终结果可写为一个常数。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第8题 返回列表 第10题 →