方企勤 第三章 一元函数积分学 第15题

解法 1 令 $x = \tan t,y = \sin t$ ,则

$$ \text{ 原式 } = \int \sec t \cdot \frac{\mathrm{d}t}{{\cos }^{2}t} = \int \frac{\mathrm{d}t}{{\cos }^{3}t}\overset{y = \sin t}{ = }\int \frac{\mathrm{d}y}{{\left( 1 - {y}^{2}\right) }^{2}}. \tag{1.5} $$

下面求真分式 $\frac{1}{{\left( 1 - {y}^{2}\right) }^{2}}$ 的部分分式. 设

$$ \frac{1}{{\left( 1 - y\right) }^{2}{\left( 1 + y\right) }^{2}} = \frac{A}{1 - y} + \frac{B}{y + 1} + \frac{C}{{\left( y - 1\right) }^{2}} + \frac{D}{{\left( y + 1\right) }^{2}}, $$

(1.6)

(1.6) 式的两边同乘以 ${\left( 1 - y\right) }^{2}$ ,并令 $y \rightarrow 1$ ,得 $C = \frac{1}{4}$ ;

(1.6) 式的两边同乘以 ${\left( 1 + y\right) }^{2}$ ,并令 $y \rightarrow - 1$ ,得 $D = \frac{1}{4}$ ;

(1.6) 式的两边同乘以 $y$ ,并令 $\displaystyle{y \rightarrow + \infty}$ ,得

$$ 0 = - A + B. \tag{1.7} $$

用 $y = 0$ 代入 (1.6) 式,得

$$ A + B = \frac{1}{2}. \tag{1.8} $$

联立 (1.7) 与 (1.8) 式, $A = \frac{1}{4},B = \frac{1}{4}$ ,即得

$$ \frac{1}{{\left( 1 - y\right) }^{2}{\left( 1 + y\right) }^{2}} = \frac{1}{4\left( {y + 1}\right) } - \frac{1}{4\left( {y - 1}\right) } $$

$$ + \frac{1}{4{\left( y - 1\right) }^{2}} + \frac{1}{4{\left( y + 1\right) }^{2}}. $$

将此代入 (1.5) 式, 得

$$ \text{ 原式 } = \frac{1}{4}\left\lbrack {\int \frac{\mathrm{d}y}{y + 1}-\int \frac{\mathrm{d}y}{y - 1} + \int \frac{\mathrm{d}y}{{\left( y - 1\right) }^{2}} + \int \frac{\mathrm{d}y}{{\left( y + 1\right) }^{2}}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{1}{4}\left\lbrack {\ln \left| \frac{1 + y}{1 - y}\right| + \frac{1}{1 - y} - \frac{1}{1 + y}}\right\rbrack + C $$

$$ = \frac{1}{4}\left\lbrack {2\ln \left| {\sec t + \tan t}\right| + 2\tan t \cdot \sec t}\right\rbrack + C $$

$$ = \frac{1}{2}\left\lbrack {\ln \left| {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right| + x\sqrt{1 + {x}^{2}}}\right\rbrack + C. $$

解法 2 因为

$$ \text{ 原式 }\frac{\text{ 分部积分 }}{}x\sqrt{1 + {x}^{2}} - \int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = x\sqrt{1 + {x}^{2}} - \int \frac{{x}^{2} - 1 + 1}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = x\sqrt{1 + {x}^{2}} - \int \sqrt{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x + \int \frac{1}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

所以

$$ = x\sqrt{1 + {x}^{2}} - \text{ 原式 } + \ln \left| {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right| + C, $$

$$ \text{ 原式 } = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + {x}^{2}} + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right| + C\text{ . } $$

评注 本题解法 2 先通过分部积分产生一个所要求积分的循环公式, 再通过解代数方程得到要求积分的答案. 这是使用分部积分法

的一种常用技巧, 例如可用来推导本题的引申题:

$$ \int \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}x\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}} \pm \frac{{a}^{2}}{2}\ln \left| {x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}}\right| + C. $$