方企勤 第三章 一元函数积分学 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,求证:

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( {a + b - x}\right) \mathrm{d}x, $$

并由此计算

$$ {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\cos }^{2}x}{x\left( {\pi - {2x}}\right) }\mathrm{d}x. $$

💡 答案解析

解 令 $t = a + b - x$ ,则

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( {a + b - t}\right) \mathrm{d}t = {\int }_{a}^{b}f\left( {a + b - x}\right) \mathrm{d}x. $$

对 $a = \frac{\pi }{6},b = \frac{\pi }{3}$ 用前一部分结果,有

原式 $= {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\sin }^{2}x}{x\left( {\pi - {2x}}\right) }\mathrm{d}x = \frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{x\left( {\pi - {2x}}\right) }\mathrm{d}x$

$$ = \frac{1}{2\pi }{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left\lbrack {\frac{1}{x} + \frac{2}{\pi - {2x}}}\right\rbrack \mathrm{d}x = {\left. \frac{1}{2\pi }\ln \frac{x}{\pi - {2x}}\right| }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = \frac{1}{\pi }\ln 2. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：证明积分等式
令 t = a + b - x，则 dx = -dt，当 x = a 时 t = b，当 x = b 时 t = a。因此 ∫_a^b f(x) dx = ∫_b^a f(a+b-t) (-dt) = ∫_a^b f(a+b-t) dt = ∫_a^b f(a+b-x) dx。
公式：∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(a+b-x) dx
提示：注意换元时积分限的变化和负号的处理。
步骤 2/5
目标：应用等式计算给定积分
取 a = π/6, b = π/3，则 a+b = π/2。由等式，原积分 I = ∫_{π/6}^{π/3} cos^2 x / [x(π-2x)] dx = ∫_{π/6}^{π/3} cos^2(π/2 - x) / [(π/2 - x)(π - 2(π/2 - x))] dx = ∫_{π/6}^{π/3} sin^2 x / [x(π-2x)] dx。
公式：cos(π/2 - x) = sin x
提示：注意被积函数中分母的变换：π - 2(π/2 - x) = 2x。
步骤 3/5
目标：合并两个积分
将原积分 I 与变换后的积分相加：2I = ∫_{π/6}^{π/3} [cos^2 x + sin^2 x] / [x(π-2x)] dx = ∫_{π/6}^{π/3} 1 / [x(π-2x)] dx。因此 I = (1/2) ∫_{π/6}^{π/3} 1 / [x(π-2x)] dx。
公式：cos^2 x + sin^2 x = 1
提示：利用三角恒等式简化被积函数。
步骤 4/5
目标：分解被积函数为部分分式
将 1/[x(π-2x)] 分解：设 1/[x(π-2x)] = A/x + B/(π-2x)，解得 A = 1/π, B = 2/π。因此 1/[x(π-2x)] = (1/π)(1/x + 2/(π-2x))。
公式：1/[x(π-2x)] = (1/π)(1/x + 2/(π-2x))
提示：部分分式分解时注意系数计算。
步骤 5/5
目标：积分并计算定积分
I = (1/2) ∫_{π/6}^{π/3} (1/π)(1/x + 2/(π-2x)) dx = (1/(2π)) ∫_{π/6}^{π/3} (1/x + 2/(π-2x)) dx。积分得 (1/(2π)) [ln|x| - ln|π-2x|]_{π/6}^{π/3} = (1/(2π)) [ln(x/(π-2x))]_{π/6}^{π/3}。代入上下限：ln[(π/3)/(π-2π/3)] - ln[(π/6)/(π-2π/6)] = ln(1) - ln(1/2) = ln2。所以 I = (1/(2π)) * ln2 = (1/π) ln2。
公式：∫ (1/x) dx = ln|x|, ∫ (2/(π-2x)) dx = -ln|π-2x|
提示：注意积分时符号，以及代入上下限时对数的计算。

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