方企勤 第三章 一元函数积分学 第26题

教材习题

📝 题目

例 26 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且在(a, b)上有 $m$ 个零点,如果每个零点的左、右邻域内 $f\left( x\right)$ 的符号相反,又

$$ {\int }_{a}^{b}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {n = 0,1,\cdots ,m}\right) . \tag{3.36} $$

求证: $f\left( x\right) \equiv 0$ .

💡 答案解析

证 设 $a < {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{m} < b$ 是 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上的 $m$ 个零点, 且不妨设 $f\left( x\right) > 0.\left( {\forall x \in \left( {a,{x}_{1}}\right) }\right)$ . 令 $p\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\left( {{x}_{1} - x}\right) \left( {{x}_{2} - x}\right) \cdots$ $\left( {{x}_{m} - x}\right)$ ,则有

$$ f\left( x\right) p\left( x\right) \neq 0\;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) . $$

又 $\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) p\left( x\right) \frac{\text{ 因为 }\left( {3.36}\right) \text{ 式 }}{}0$ ,故有

$$ f\left( x\right) p\left( x\right) \equiv 0\overset{p\left( x\right) ≢ 0}{ \Rightarrow }f\left( x\right) \equiv 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设出零点并确定符号
设 a < x1 < x2 < ... < xm < b 是 f(x) 在 (a,b) 上的 m 个零点，且不妨设 f(x) > 0 对任意 x ∈ (a, x1) 成立。
提示：由于每个零点左右邻域内 f(x) 符号相反，因此 f(x) 在相邻零点间符号交替。
步骤 2/5
目标：构造多项式 p(x)
令 p(x) = (x1 - x)(x2 - x)...(xm - x)。
公式：p(x) = ∏_{i=1}^m (x_i - x)
提示：p(x) 在每个零点处变号，且 p(x) 在 (a,b) 内不变号（因为零点都是单根）。
步骤 3/5
目标：分析 f(x)p(x) 的符号
由于 f(x) 在相邻零点间符号交替，且 p(x) 在每个零点处也变号，乘积 f(x)p(x) 在 (a,b) 内恒正或恒负，即 f(x)p(x) ≠ 0 对任意 x ∈ (a,b) 成立。
提示：注意 f(x) 和 p(x) 的零点相同，且每个零点处两者符号变化一致，故乘积不变号。
步骤 4/5
目标：利用积分条件推出矛盾
由条件 ∫_a^b x^n f(x) dx = 0 (n=0,1,...,m)，可知 ∫_a^b f(x) p(x) dx = 0，因为 p(x) 是次数为 m 的多项式，可表示为 x^n 的线性组合。
公式：∫_a^b f(x) p(x) dx = 0
提示：由于 p(x) 是 m 次多项式，其系数可由 x^n (n=0,...,m) 线性表示，积分线性性得该积分为0。
步骤 5/5
目标：得出 f(x) 恒为零
若 f(x)p(x) 在 (a,b) 内不变号且连续，则其积分非零，与积分为0矛盾。因此 f(x)p(x) ≡ 0，又 p(x) 不恒为零，故 f(x) ≡ 0。
提示：连续函数若恒正（或恒负），则积分大于（或小于）0。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第25题 返回列表 第27题 →