方企勤 第三章 一元函数积分学 第27题

教材习题

📝 题目

例 27 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上连续, $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x$ 收敛,并且

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t\;\left( {x \geq 0}\right) , \tag{3.37} $$

求证 $f\left( x\right) \equiv 0$ .

分析 注意到 (3.37) 式右端的导数恰是 (3.37) 式的左端, 因此想到用 (3.37) 式右端去除 (3.37) 式的两端, 使得左端凑成对数导数, 但是又遇到 (3.37) 式右端可能等于零而不能做除数的麻烦. 于是想到用添加 $\varepsilon$ 的技巧.

💡 答案解析

证 对 $\forall \varepsilon > 0$ ,

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \Rightarrow \left| {f\left( x\right) }\right| < \varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t\;\left( {x \geq 0}\right) $$

$$ \Rightarrow \frac{\left| f\left( x\right) \right| }{\varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t} < 1\;\left( {x \geq 0}\right) $$

$$ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln \left\{ {\varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t}\right\} < 1\;\left( {x \geq 0}\right) . $$

再对上式两边从 0 到 $x$ 积分,得

$$ {\left. \ln \left\{ \varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| f\left( t\right) \right| \mathrm{d}t\right\} \right| }_{0}^{x} \leq x \Rightarrow \frac{\varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t}{\varepsilon } \leq {\mathrm{e}}^{x} $$

$$ \Rightarrow \varepsilon + {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \leq \varepsilon {\mathrm{e}}^{x}. $$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ ,即得

$$ 0 \leq {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \leq 0 \Rightarrow {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \equiv 0\left( {\forall x \geq 0}\right) $$

$$ \Rightarrow f\left( x\right) \equiv 0\left( {\forall x \geq 0}\right) . $$

\subsubsection{六、定积分的极限}

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：引入ε，将不等式加强为严格不等式
对任意ε>0，由已知不等式|f(x)| ≤ ∫_0^x |f(t)| dt，可得|f(x)| < ε + ∫_0^x |f(t)| dt。
公式：|f(x)| < ε + ∫_0^x |f(t)| dt
提示：添加ε是为了避免分母为零，使后续除法可行。
步骤 2/5
目标：构造对数导数形式
将上式两边除以ε + ∫_0^x |f(t)| dt，得到|f(x)|/(ε + ∫_0^x |f(t)| dt) < 1。注意到左边是ln(ε + ∫_0^x |f(t)| dt)的导数。
公式：d/dx ln(ε + ∫_0^x |f(t)| dt) = |f(x)|/(ε + ∫_0^x |f(t)| dt) < 1
提示：利用导数公式：d/dx ln(g(x)) = g'(x)/g(x)。
步骤 3/5
目标：积分得到不等式
对导数不等式从0到x积分，得ln(ε + ∫_0^x |f(t)| dt) - ln(ε) ≤ x，即(ε + ∫_0^x |f(t)| dt)/ε ≤ e^x。
公式：ln(ε + ∫_0^x |f(t)| dt) - ln ε ≤ x ⇒ ε + ∫_0^x |f(t)| dt ≤ ε e^x
提示：积分时注意ln(ε)是常数。
步骤 4/5
目标：令ε→0，推出积分为零
令ε→0+，由ε + ∫_0^x |f(t)| dt ≤ ε e^x，取极限得∫_0^x |f(t)| dt ≤ 0。又因为积分非负，所以∫_0^x |f(t)| dt ≡ 0。
公式：0 ≤ ∫_0^x |f(t)| dt ≤ 0 ⇒ ∫_0^x |f(t)| dt = 0
提示：极限过程需要小心，但这里不等式对任意ε成立，取极限后得到零。
步骤 5/5
目标：由积分零推出f恒为零
由于∫_0^x |f(t)| dt ≡ 0，对任意x≥0，由积分中值定理或连续性可得|f(x)| ≡ 0，即f(x) ≡ 0。
公式：f(x) ≡ 0
提示：利用连续函数的性质：若连续函数非负且积分恒为零，则函数恒为零。

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