方企勤 第三章 一元函数积分学 第28题

教材习题

📝 题目

例 28 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = 0}$ .

💡 答案解析

证 对 $\forall \varepsilon > 0$ ,不妨设 $\varepsilon < \pi$ ,则对 $\forall n \in N$ ,有

$$ 0 \leq {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi - e}{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x + {\int }_{\frac{\pi - e}{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x $$

$$ \leq \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}. \tag{3.38} $$

又因为 $0 < \sin \frac{\pi - \varepsilon }{2} < 1$ ,推知 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} = 0}$ . 从而对上述的 $\varepsilon$ , $\exists N$ ,使得当 $n > N$ 时,

$$ \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} < \frac{\varepsilon }{2}. \tag{3.39} $$

联合 (3.38) 与 (3.39) 式,即得 $0 \leq {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x < \varepsilon \left( {n > N}\right)$ ,故

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = 0. $$

提问 本题如下证法是否正确? 由积分中值定理得

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = {\sin }^{n}\xi {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\xi . $$

又 $0 < \sin \xi < 1$ ,故有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\xi = 0. $$

解答 这个证明是错误的. 错误在于 $\xi$ 不是常数,而是随着 $n$ 变化而变化的,应记作 ${\xi }_{n}$ ,当 ${\xi }_{n} \rightarrow \frac{\pi }{2}$ 时, ${\sin }^{n}{\xi }_{n}$ 为 $\displaystyle{1}^{\infty }}$ 未定型. 一般说来, 从序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $0 < {x}_{n} < 1$ ,不能推出 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = 0}$ . 例如 ${x}_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ,虽然满足 $0 < {x}_{n} < 1$ ,但是

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}^{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( \frac{n}{n + 1}\right) }^{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n}} = \frac{1}{\mathrm{e}} \neq 0. $$

因此,本题不能根据 $0 < \sin {\xi }_{n} < 1$ ,推出 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\pi }{2}{\sin }^{n}{\xi }_{n} = 0}$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将积分区间分割为两部分
对任意ε>0，不妨设ε<π，将积分区间[0, π/2]分为[0, (π-ε)/2]和[(π-ε)/2, π/2]两部分，则积分可写为两段积分之和。
公式：∫_0^{π/2} sin^n x dx = ∫_0^{(π-ε)/2} sin^n x dx + ∫_{(π-ε)/2}^{π/2} sin^n x dx
提示：分割点的选择是为了利用sin x在[0, π/2]上的单调性，使得第一段积分中的sin x有上界小于1。
步骤 2/4
目标：估计两段积分的大小
第一段积分中，sin x ≤ sin((π-ε)/2) < 1，且区间长度≤π/2，故第一段积分≤ (π/2) sin^n((π-ε)/2)。第二段积分中，sin x ≤ 1，区间长度为ε/2，故第二段积分≤ ε/2。因此总积分≤ (π/2) sin^n((π-ε)/2) + ε/2。
公式：0 ≤ ∫_0^{π/2} sin^n x dx ≤ (π/2) sin^n((π-ε)/2) + ε/2
提示：利用sin x在[0, π/2]上递增，且sin((π-ε)/2) < 1。
步骤 3/4
目标：证明第一项趋于0
由于0 < sin((π-ε)/2) < 1，故lim_{n→∞} sin^n((π-ε)/2) = 0。因此存在N，当n>N时，(π/2) sin^n((π-ε)/2) < ε/2。
公式：lim_{n→∞} sin^n((π-ε)/2) = 0
提示：这是利用指数函数性质：若0
步骤 4/4
目标：综合得到极限为0
当n>N时，由前两步得0 ≤ ∫_0^{π/2} sin^n x dx < ε/2 + ε/2 = ε。由极限定义，lim_{n→∞} ∫_0^{π/2} sin^n x dx = 0。
公式：0 ≤ ∫_0^{π/2} sin^n x dx < ε (n>N)
提示：ε的任意性保证了极限为0。

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