方企勤 第三章 一元函数积分学 第29题

教材习题

📝 题目

例 29 已知 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上有二阶连续导数, $f\left( 0\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right)$ $= 0$ ,且 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0$ . 若对任意的 $x > 0$ ,函数 $u\left( x\right)$ 表示曲线 $y = f\left( x\right)$ 在切点 $\left( {x,f\left( x\right) }\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距 (如图 3.5 所示).

(1) 写出 $u\left( x\right)$ 的表达式,并求 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}u\left( x\right)$ 及 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}{u}^{\prime }\left( x\right)$ ;

(2) 求 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{\int }_{0}^{u\left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t}$ .

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图 3.5

💡 答案解析

解 (1) $u\left( x\right) = x - \frac{f\left( x\right) }{{f}^{\prime }\left( x\right) }$ ,

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}u\left( x\right) = - \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{f\left( x\right) }{{f}^{\prime }\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{f}^{\prime \prime }\left( x\right) } = 0; $$

$$ {u}^{\prime }\left( x\right) = 1 - \frac{{f}^{\prime }{\left( x\right) }^{2} - {f}^{\prime \prime }\left( x\right) f\left( x\right) }{{f}^{\prime }{\left( x\right) }^{2}} = \frac{{f}^{\prime \prime }\left( x\right) f\left( x\right) }{{f}^{\prime }{\left( x\right) }^{2}}, $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}{u}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{2{f}^{\prime }\left( x\right) {f}^{\prime \prime }\left( x\right) } = \frac{1}{2}. $$

(2) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{\int }_{0}^{u\left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{f\left( {u\left( x\right) }\right) {u}^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) } = \frac{1}{2}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{f\left( {u\left( x\right) }\right) }{f\left( x\right) }$

$$ = \frac{1}{2}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{f}^{\prime }\left( {u\left( x\right) }\right) {u}^{\prime }\left( x\right) }{{f}^{\prime }\left( x\right) } $$

$$ = \frac{1}{4}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{f}^{\prime \prime }\left( {u\left( x\right) }\right) {u}^{\prime }\left( x\right) }{{f}^{\prime \prime }\left( x\right) } = \frac{1}{8}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出切线方程并求截距
曲线在点(x, f(x))处的切线方程为Y - f(x) = f'(x)(X - x)。令Y=0，解得X = x - f(x)/f'(x)，即u(x) = x - f(x)/f'(x)。
公式：u(x) = x - f(x)/f'(x)
提示：注意切线方程的形式，截距是X轴上的交点。
步骤 2/4
目标：求lim_{x→0+} u(x)
lim_{x→0+} u(x) = lim_{x→0+} [x - f(x)/f'(x)] = -lim_{x→0+} f(x)/f'(x)。由于f(0)=f'(0)=0，使用洛必达法则：lim_{x→0+} f(x)/f'(x) = lim_{x→0+} f'(x)/f''(x) = f'(0)/f''(0) = 0，所以lim u(x)=0。
公式：lim_{x→0+} u(x) = 0
提示：使用洛必达法则时注意条件：f(0)=f'(0)=0，f''(x)>0。
步骤 3/4
目标：求u'(x)并求lim_{x→0+} u'(x)
对u(x)求导：u'(x) = 1 - [f'(x)^2 - f''(x)f(x)]/f'(x)^2 = f''(x)f(x)/f'(x)^2。求极限：lim_{x→0+} u'(x) = lim_{x→0+} f''(x)f(x)/f'(x)^2。由于f(0)=f'(0)=0，使用洛必达法则：分子分母分别求导，得lim_{x→0+} [f'''(x)f(x)+f''(x)f'(x)]/[2f'(x)f''(x)] = lim_{x→0+} [f'''(x)f(x)/(2f'(x)f''(x)) + 1/2]。第一项极限为0（因为f(x)/f'(x)→0），所以结果为1/2。
公式：u'(x) = f''(x)f(x)/f'(x)^2, lim_{x→0+} u'(x)=1/2
提示：求导时注意商的导数公式，极限计算可多次使用洛必达法则。
步骤 4/4
目标：求极限lim_{x→0+} [∫_0^{u(x)} f(t)dt] / [∫_0^x f(t)dt]
使用洛必达法则：分子分母分别对x求导。分子导数为f(u(x))u'(x)，分母导数为f(x)。所以原极限=lim_{x→0+} [f(u(x))u'(x)]/f(x)。代入u'(x)→1/2，得(1/2)lim_{x→0+} f(u(x))/f(x)。再次使用洛必达法则：lim f(u(x))/f(x) = lim [f'(u(x))u'(x)]/f'(x) = (1/2)lim f'(u(x))/f'(x)。再使用洛必达：lim f'(u(x))/f'(x) = lim [f''(u(x))u'(x)]/f''(x) = (1/2)lim f''(u(x))/f''(x) = 1/2（因为u(x)→0，f''连续）。所以原极限=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8。
公式：lim_{x→0+} [∫_0^{u(x)} f(t)dt] / [∫_0^x f(t)dt] = 1/8
提示：多次使用洛必达法则，注意复合函数求导，以及u(x)→0。

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