方企勤 第三章 一元函数积分学 第30题
📝 题目
例 30 若 $f\left( x\right)$ 是连续的以 $T$ 为周期的周期函数,求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t. $$
💡 答案解析
证 令 $\varphi \left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - \frac{x}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ ,只要证明 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\varphi \left( x\right) }{x} = 0$ . 由
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义辅助函数 φ(x)
令 φ(x) = ∫₀ˣ f(t) dt - (x/T) ∫₀ᵀ f(t) dt，则原极限等价于证明 lim_{x→∞} φ(x)/x = 0。
公式：φ(x) = ∫₀ˣ f(t) dt - (x/T) ∫₀ᵀ f(t) dt
提示：辅助函数将原极限转化为 φ(x)/x 的极限，便于利用周期性。
步骤 2/4
目标：利用周期性简化 φ(x)
由于 f 以 T 为周期，对任意实数 x，存在整数 n 使得 nT ≤ x < (n+1)T。将积分区间 [0, x] 分成 [0, nT] 和 [nT, x]，利用周期性可得 ∫₀ⁿᵀ f(t) dt = n ∫₀ᵀ f(t) dt。因此 φ(x) = n ∫₀ᵀ f(t) dt + ∫ₙᵀˣ f(t) dt - (x/T) ∫₀ᵀ f(t) dt = ∫ₙᵀˣ f(t) dt - (x - nT)/T ∫₀ᵀ f(t) dt。
公式：∫₀ⁿᵀ f(t) dt = n ∫₀ᵀ f(t) dt
提示：将 x 表示为 nT + r，其中 0 ≤ r < T，利用周期性简化积分。
步骤 3/4
目标：估计 φ(x) 的有界性
令 r = x - nT，则 0 ≤ r < T。由 φ(x) = ∫ₙᵀˣ f(t) dt - (r/T) ∫₀ᵀ f(t) dt。由于 f 连续，在 [0, T] 上有界，设 M = max_{t∈[0,T]} |f(t)|，则 |∫ₙᵀˣ f(t) dt| ≤ M r，且 |(r/T) ∫₀ᵀ f(t) dt| ≤ r M。因此 |φ(x)| ≤ 2M r ≤ 2M T，即 φ(x) 有界。
公式：|φ(x)| ≤ 2M T
提示：利用 f 的连续性得到有界性，从而 φ(x) 有界。
步骤 4/4
目标：证明极限为零
由于 φ(x) 有界，即存在常数 C 使得 |φ(x)| ≤ C，则 |φ(x)/x| ≤ C/x。当 x→∞ 时，C/x → 0，因此 lim_{x→∞} φ(x)/x = 0。
公式：|φ(x)/x| ≤ C/x → 0
提示：有界量除以无穷大量趋于零。
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