方企勤 第三章 一元函数积分学 第31题

教材习题

📝 题目

例 31 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,A < a < b < B$ . 求证:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{\int }_{a}^{b}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h}\mathrm{\;d}x = f\left( b\right) - f\left( a\right) . $$

💡 答案解析

证 原式 $= \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\int }_{a}^{b}f\left( {x + h}\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}{h}$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\int }_{a + h}^{b + h}f\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}{h} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\int }_{b}^{b + h}f\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{a + h}f\left( x\right) \mathrm{d}x}{h} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\int }_{b}^{b + h}f\left( x\right) \mathrm{d}x}{h} - \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\int }_{a}^{a + h}f\left( x\right) \mathrm{d}x}{h} $$

$$ \frac{\xi \in \left( {b,b + h}\right) }{\eta \in \left( {a,a + h}\right) }\mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow b}}f\left( \xi \right) - \mathop{\lim }\limits_{{\eta \rightarrow a}}f\left( \eta \right) = f\left( b\right) - f\left( a\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：将极限表达式转化为差商形式
将原极限中的积分差除以h，写成两个积分之差除以h的形式。
公式：原式 = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^b f(x+h) dx - \int_a^b f(x) dx}{h}
提示：注意f(x+h)的积分变量是x，需要换元。
步骤 2/6
目标：对第一个积分进行变量代换
令t = x + h，则x = t - h，dx = dt，积分限变为a+h到b+h，得到∫_{a+h}^{b+h} f(t) dt。
公式：\int_a^b f(x+h) dx = \int_{a+h}^{b+h} f(t) dt
提示：换元后积分变量可重命名为x。
步骤 3/6
目标：合并积分区间
将两个积分相减，拆分为从b到b+h和从a到a+h的积分之差。
公式：\int_{a+h}^{b+h} f(x) dx - \int_a^b f(x) dx = \int_b^{b+h} f(x) dx - \int_a^{a+h} f(x) dx
提示：利用积分区间可加性，将[a+h, b+h]拆成[a+h, a] + [a, b] + [b, b+h]等。
步骤 4/6
目标：将极限拆分为两个极限之差
利用极限的线性性质，将极限拆分为两个极限的差。
公式：\lim_{h \to 0} \frac{\int_b^{b+h} f(x) dx}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{a+h} f(x) dx}{h}
提示：前提是两个极限都存在。
步骤 5/6
目标：应用积分中值定理
对每个积分应用积分中值定理：存在ξ∈(b, b+h)和η∈(a, a+h)，使得∫_b^{b+h} f(x) dx = f(ξ) h，∫_a^{a+h} f(x) dx = f(η) h。
公式：\int_b^{b+h} f(x) dx = f(\xi) h, \quad \int_a^{a+h} f(x) dx = f(\eta) h
提示：由于f连续，中值定理成立。
步骤 6/6
目标：取极限得到结果
代入后，极限变为lim_{h→0} f(ξ) - lim_{h→0} f(η)。当h→0时，ξ→b，η→a，由f的连续性得极限为f(b)-f(a)。
公式：\lim_{h \to 0} f(\xi) = f(b), \quad \lim_{h \to 0} f(\eta) = f(a)
提示：注意h的正负不影响极限。

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