方企勤 第三章 一元函数积分学 第32题

教材习题

📝 题目

例 32 设 ${f}^{\prime }\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,求证:

$$ {\int }_{0}^{1}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{f\left( 1\right) }{n} + o\left( \frac{1}{n}\right) \;\left( {n \rightarrow \infty }\right) . $$

💡 答案解析

证 用分部积分法.

$$ {\int }_{0}^{1}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}\left( {x}^{n + 1}\right) $$

$$ = \frac{f\left( 1\right) }{n + 1} - \frac{1}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n + 1}{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ = \frac{f\left( 1\right) }{n} + \frac{f\left( 1\right) }{n + 1} - \frac{f\left( 1\right) }{n} - \frac{1}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n + 1}{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

又

$$ \frac{f\left( 1\right) }{n + 1} - \frac{f\left( 1\right) }{n} = - \frac{f\left( 1\right) }{n\left( {n + 1}\right) } = o\left( \frac{1}{n}\right) $$

及 ${f}^{\prime }\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,推知存在 ${M}_{1} > 0$ ,使得 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq {M}_{1}(\forall x \in$ $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack )$ ,故有

$$ \left| {\frac{1}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n + 1}{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \frac{{M}_{1}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) } $$

$$ \Rightarrow \frac{1}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n + 1}{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = o\left( \frac{1}{n}\right) . $$

因此

$$ {\int }_{0}^{1}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{f\left( 1\right) }{n} + o\left( \frac{1}{n}\right) \;\left( {n \rightarrow \infty }\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：使用分部积分法将积分转化为包含f(1)和f'(x)的形式
将积分 ∫_0^1 x^n f(x) dx 改写为 1/(n+1) ∫_0^1 f(x) d(x^{n+1})，然后应用分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中 u = f(x), dv = d(x^{n+1})，得到 = f(1)/(n+1) - 1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx。
公式：∫_0^1 x^n f(x) dx = f(1)/(n+1) - 1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx
提示：分部积分时注意边界项的处理，x=0时x^{n+1}=0。
步骤 2/5
目标：将结果改写为 f(1)/n 加上余项的形式
将 f(1)/(n+1) 减去 f(1)/n 并加上 f(1)/n，得到 f(1)/n + [f(1)/(n+1) - f(1)/n] - 1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx。
公式：∫_0^1 x^n f(x) dx = f(1)/n + [f(1)/(n+1) - f(1)/n] - 1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx
提示：注意恒等变形，将主项分离出来。
步骤 3/5
目标：证明 f(1)/(n+1) - f(1)/n = o(1/n)
计算差值：f(1)/(n+1) - f(1)/n = -f(1)/[n(n+1)]，由于 1/[n(n+1)] = o(1/n)，所以该项是 o(1/n)。
公式：f(1)/(n+1) - f(1)/n = -f(1)/[n(n+1)] = o(1/n)
提示：利用 o(1/n) 的定义：若 a_n / (1/n) → 0，则 a_n = o(1/n)。
步骤 4/5
目标：证明积分项 1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx = o(1/n)
由于 f'(x) 在 [0,1] 上连续，故存在 M1 > 0 使得 |f'(x)| ≤ M1。于是 |1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx| ≤ M1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} dx = M1/[(n+1)(n+2)]。而 M1/[(n+1)(n+2)] = o(1/n)，因此积分项为 o(1/n)。
公式：|1/(n+1) ∫_0^1 x^{n+1} f'(x) dx| ≤ M1/[(n+1)(n+2)] = o(1/n)
提示：利用 f'(x) 的有界性放缩，并计算 ∫_0^1 x^{n+1} dx = 1/(n+2)。
步骤 5/5
目标：综合结论
将两个余项合并，得到 ∫_0^1 x^n f(x) dx = f(1)/n + o(1/n) (n→∞)。
公式：∫_0^1 x^n f(x) dx = f(1)/n + o(1/n)
提示：o(1/n) 表示比 1/n 高阶的无穷小。

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