方企勤 第三章 一元函数积分学 第33题

教材习题

📝 题目

例 33 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上单调. 求证:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x = 0. $$

💡 答案解析

证 由 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上单调,应用积分第二中值定理,有

$$ {\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x = f\left( 0\right) {\int }_{0}^{\xi }\sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x + f\left( {2\pi }\right) {\int }_{\xi }^{2\pi }\sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x $$

$$ = f\left( 0\right) \frac{1 - \cos {\lambda \xi }}{\lambda } - f\left( {2\pi }\right) \frac{1 - \cos {\lambda \xi }}{\lambda }, $$

因此

$$ \left| {{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x}\right| \leq \max \{ \left| {f\left( 0\right) }\right| ,\left| {f\left( {2\pi }\right) }\right| \} \frac{2}{\lambda } $$

$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x = 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：应用积分第二中值定理
由于f(x)在[0,2π]上单调，根据积分第二中值定理，存在ξ∈[0,2π]，使得∫₀^{2π} f(x) sin(λx) dx = f(0)∫₀^ξ sin(λx) dx + f(2π)∫_ξ^{2π} sin(λx) dx。
公式：∫₀^{2π} f(x) sin(λx) dx = f(0)∫₀^ξ sin(λx) dx + f(2π)∫_ξ^{2π} sin(λx) dx
提示：注意单调性条件，确保定理适用。
步骤 2/3
目标：计算两个积分
计算∫₀^ξ sin(λx) dx = (1 - cos(λξ))/λ，∫_ξ^{2π} sin(λx) dx = (cos(λξ) - 1)/λ。代入得：原式 = f(0)(1 - cos(λξ))/λ + f(2π)(cos(λξ) - 1)/λ = (f(0) - f(2π))(1 - cos(λξ))/λ。
公式：∫₀^ξ sin(λx) dx = (1 - cos(λξ))/λ，∫_ξ^{2π} sin(λx) dx = (cos(λξ) - 1)/λ
提示：注意积分上下限，正确计算原函数。
步骤 3/3
目标：估计绝对值并取极限
取绝对值：|∫₀^{2π} f(x) sin(λx) dx| ≤ |f(0)|·|1 - cos(λξ)|/λ + |f(2π)|·|1 - cos(λξ)|/λ ≤ (|f(0)|+|f(2π)|)·2/λ ≤ 2M/λ，其中M = max{|f(0)|,|f(2π)|}。当λ→∞时，2M/λ→0，故极限为0。
公式：|∫₀^{2π} f(x) sin(λx) dx| ≤ 2M/λ，M = max{|f(0)|,|f(2π)|}
提示：利用|1-cos(λξ)|≤2进行放缩。

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