方企勤 第三章 一元函数积分学 第34题

教材习题

📝 题目

例 34 求证: $\pi$ 是无理数.

💡 答案解析

证 用反证法. 假设 $\pi$ 是有理数,那么可设 $\pi = \frac{a}{b}$ ,其中 $a,b$ 都是正整数. 令

$$ f\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{{x}^{n}{\left( a - bx\right) }^{n}}{n!}. $$

显然 $f\left( x\right)$ 是 ${2n}$ 次多项式,它的马克劳林展开式为

$$ f\left( x\right) = {a}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}\frac{1}{k!\left( {n - k}\right) !}{\left( \frac{b}{a}\right) }^{k}{x}^{k + n}, $$

由此推出

$$ {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0 \leq k \leq n - 1 \\ {\left( -1\right) }^{k}{a}^{n - k}{b}^{k}, & n \leq k \leq {2n}, \end{matrix}\right. $$

从此可见, ${f}^{\left( k\right) }\left( 0\right)$ 都是整数.

再注意到

$$ f\left( {\frac{a}{b} - x}\right) = {\left( \frac{a}{b} - x\right) }^{n}\frac{{\left( a - b\left( \frac{a}{b} - x\right) \right) }^{n}}{n!} $$

$$ = \frac{{x}^{n}}{n!}{\left( a - xb\right) }^{n} = f\left( x\right) , $$

因此, ${f}^{\left( k\right) }\left( \pi \right) = {f}^{\left( k\right) }\left( \frac{a}{b}\right) = {\left( -1\right) }^{k}{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right)$ ,故有 ${f}^{\left( k\right) }\left( \pi \right)$ 都是整数. 令

$$ G\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}{f}^{\left( 2k\right) }\left( x\right) $$

$$ \text{ 因为 }{f}^{\left( k\right) }\left( x\right) \equiv 0\left( {k > {2n}}\right) \;{G}^{\prime \prime }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\left( -1\right) }^{k - 1}{f}^{\left( 2k\right) }\left( x\right) \text{ . } $$

从而 ${G}^{\prime \prime }\left( x\right) + G\left( x\right) = f\left( x\right)$ ,并且 $G\left( \pi \right) ,G\left( 0\right)$ 都是整数.

现在,一方面从

$$ {\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\pi }\left( {G\left( x\right) + {G}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$

$$ = {\int }_{0}^{\pi }\sin x\mathrm{\;d}{G}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$

$$ \text{ 分部积分 }{G}^{\prime }\left( x\right) \sin x{\left. \right| }_{0}^{\pi } - {\int }_{0}^{\pi }{G}^{\prime }\left( x\right) \cos x\mathrm{\;d}x + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$

$$ \text{ 分部积分 } - {\left. G\left( x\right) \cos x\right| }_{0}^{\pi } - {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$

$$ = G\left( \pi \right) + G\left( 0\right) $$

可以看出 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x$ 是整数. 而另一方面,由

$$ {\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x < {\int }_{0}^{\frac{a}{b}}\frac{{x}^{n}{\left( a - bx\right) }^{n}}{n!}\mathrm{d}x $$

$$ \overset{u = 1 - \frac{a}{b}x}{ = }\frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}}{\int }_{0}^{1}{u}^{n}{\left( 1 - u\right) }^{n}\mathrm{\;d}u < \frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}}, \tag{3.40} $$

因为 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}} = 0}$ ,所以对充分大的 $n$ ,不等式 (3.40) 的右端是小数, 而 (3.40) 的左端是整数. 这是一个矛盾, 这矛盾说明反证法假设不成立,即结论成立,也就是 $\pi$ 是无理数.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：假设π是有理数，引出矛盾
假设π是有理数，则存在正整数a,b使得π=a/b。定义函数f(x)=x^n(a-bx)^n/n!。
公式：π = a/b, f(x) = x^n(a-bx)^n/n!
提示：反证法第一步：假设结论不成立。
步骤 2/5
目标：分析f(x)及其导数的性质
f(x)是2n次多项式，其马克劳林展开为f(x)=a^n∑_{k=0}^n (-1)^k/(k!(n-k)!) (b/a)^k x^{k+n}。由此可得f^{(k)}(0)=0 (0≤k≤n-1)，f^{(k)}(0)=(-1)^k a^{n-k} b^k (n≤k≤2n)，均为整数。由对称性f(π-x)=f(x)得f^{(k)}(π)=(-1)^k f^{(k)}(0)，也是整数。
公式：f^{(k)}(0) = 0 (0≤k≤n-1), f^{(k)}(0)=(-1)^k a^{n-k} b^k (n≤k≤2n)
提示：注意f(x)的对称性：f(π-x)=f(x)。
步骤 3/5
目标：构造辅助函数G(x)并利用其性质
定义G(x)=∑_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x)。由于f^{(k)}(x)≡0 (k>2n)，可得G''(x)+G(x)=f(x)。且G(π)和G(0)均为整数。
公式：G(x)=∑_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x), G''(x)+G(x)=f(x)
提示：G(x)的构造是为了后续积分计算。
步骤 4/5
目标：计算积分∫_0^π f(x) sin x dx
利用G(x)的性质，通过两次分部积分得到∫_0^π f(x) sin x dx = G(π)+G(0)。由于G(π)和G(0)是整数，该积分是整数。
公式：∫_0^π f(x) sin x dx = G(π)+G(0)
提示：分部积分时注意边界项。
步骤 5/5
目标：估计积分上界，导出矛盾
另一方面，由f(x)定义，有∫_0^π f(x) sin x dx < ∫_0^{a/b} x^n (a-bx)^n/n! dx。通过变量代换u=1-bx/a，得到积分小于a^{2n+1}/(n! b^{n+1})。当n→∞时，该上界趋于0，因此对充分大的n，积分小于1，但它是整数，矛盾。
公式：∫_0^π f(x) sin x dx < a^{2n+1}/(n! b^{n+1})
提示：利用极限lim_{n→∞} a^{2n+1}/(n! b^{n+1})=0。

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