方企勤 第三章 一元函数积分学 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 过点(4,0)作曲线 $y = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ 的切线.

(1)求切线的方程；

(2)求由这条切线与该曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形(如图 3.6 所示) 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

\begin{center} \end{center} \hspace*{3em}

图 3.6

💡 答案解析

解 (1) 令 $f\left( x\right) = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ ,则

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{2 - x}{\sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }}. $$

过点(4,0)作曲线 $y = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ 的切线,切线与 $x$ 轴交点的横坐标是

$$ x - \frac{y}{{y}^{\prime }} = \frac{{2x} - 3}{-2 + x} = 4 \Rightarrow x = \frac{5}{2}, $$

即切点的横坐标是 $x = \frac{5}{2}$ . 于是切线斜率为 ${f}^{\prime }\left( \frac{5}{2}\right) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ ,切线方程是

$$ y = - \frac{1}{\sqrt{3}}\left( {x - 4}\right) . $$

(2)所求的旋转体的体积为

$$ \pi {\int }_{\frac{5}{2}}^{4}{\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}\left( x - 4\right) \right) }^{2}\mathrm{\;d}x - \pi {\int }_{\frac{5}{2}}^{3}{\left( \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }\right) }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{6}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求切点坐标
设切点为(x0, y0)，曲线为y = sqrt((x-1)(3-x))。求导得y' = (2-x)/sqrt((x-1)(3-x))。切线过点(4,0)，切线方程可写为y - y0 = y'(x0)(x - x0)。将(4,0)代入得0 - y0 = y'(x0)(4 - x0)。又y0 = sqrt((x0-1)(3-x0))，代入解得x0=5/2。
公式：y' = (2-x)/sqrt((x-1)(3-x))
提示：注意曲线定义域为[1,3]，切点横坐标应在该区间内。
步骤 2/3
目标：求切线方程
将x0=5/2代入导数得斜率k = y'(5/2) = -1/sqrt(3)。切线过点(4,0)，故切线方程为y = -1/sqrt(3) (x-4)。
公式：y = -1/sqrt(3) (x-4)
提示：切线方程也可写为点斜式。
步骤 3/3
目标：计算旋转体体积
旋转体体积由切线绕x轴旋转的体积减去曲线绕x轴旋转的体积（从x=5/2到x=3）。切线旋转体积：π∫_{5/2}^{4} [(-1/sqrt(3))(x-4)]^2 dx；曲线旋转体积：π∫_{5/2}^{3} [sqrt((x-1)(3-x))]^2 dx。计算得π/6。
公式：V = π∫_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
提示：注意积分上下限：切线从5/2到4，曲线从5/2到3。

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