方企勤 第三章 一元函数积分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 求双纽线 ${r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }\left( {a > 0}\right)$ 所围的面积与绕极轴旋转的侧面积.

💡 答案解析

解 双纽线的图形如图 3.7 所示, 由图形的对称性得图形的面积为

$$ A = 4 \cdot \frac{1}{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}{a}^{2}\cos {2\theta }\mathrm{d}\theta = {a}^{2}. $$

\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/028.jpg} \end{center} \hspace*{3em}

图 3.7

图形绕极轴旋转的侧面积为

$$ P = 2 \cdot {2\pi }{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}r\left( \theta \right) \sin \theta \sqrt{{r}^{2}\left( \theta \right) + {r}^{\prime 2}\left( \theta \right) }\mathrm{d}\theta $$

$$ = 2 \cdot {2\pi }{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}a\sqrt{\cos {2\theta }} \cdot \sin \theta \sqrt{{a}^{2}\cos {2\theta } + \frac{{a}^{2}{\sin }^{2}{2\theta }}{\cos {2\theta }}}\mathrm{d}\theta $$

$$ = {4\pi }{a}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin \theta \mathrm{d}\theta = {2\pi }{a}^{2}\left( {2 - \sqrt{2}}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：确定双纽线的对称性并计算面积
双纽线 r^2 = a^2 cos2θ 关于极轴对称，也关于直线 θ=π/4 对称。图形在第一象限部分对应 θ 从 0 到 π/4。利用极坐标面积公式，总面积 A = 4 × (1/2) ∫_{0}^{π/4} r^2 dθ = 2 ∫_{0}^{π/4} a^2 cos2θ dθ。计算积分得 A = a^2。
公式：A = 4 × (1/2) ∫_{0}^{π/4} a^2 cos2θ dθ = a^2
提示：注意双纽线有对称性，只算第一象限再乘以4。
步骤 2/2
目标：计算绕极轴旋转的侧面积
绕极轴旋转的侧面积公式为 P = 2π ∫ r sinθ √(r^2 + (dr/dθ)^2) dθ。由于对称性，只考虑上半部分（θ从0到π/4）再乘以2。代入 r = a√(cos2θ)，dr/dθ = -a sin2θ/√(cos2θ)。计算 r^2 + (dr/dθ)^2 = a^2 cos2θ + a^2 sin^2 2θ / cos2θ = a^2 / cos2θ。因此 √(r^2 + (dr/dθ)^2) = a/√(cos2θ)。被积函数为 r sinθ √(...) = a√(cos2θ) sinθ × a/√(cos2θ) = a^2 sinθ。积分得 P = 2 × 2π ∫_{0}^{π/4} a^2 sinθ dθ = 4π a^2 (1 - √2/2) = 2π a^2 (2 - √2)。
公式：P = 2 × 2π ∫_{0}^{π/4} a^2 sinθ dθ = 2π a^2 (2 - √2)
提示：注意侧面积公式中 r sinθ 是旋转半径，且由于对称性要乘以2。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第1题 返回列表 第3题 →