方企勤 第三章 一元函数积分学 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 讨论如下广义积分的收敛性:

$$ {\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x. $$

💡 答案解析

解法 1 此广义积分有瑕点 $x = 0$ 与 $\displaystyle{x = + \infty}$ . 当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时,因为

$$ 0 \leq \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x} $$

$$ \leq \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{x\left( {1 + x}\right) }\;\left( {\forall x > 0}\right) , $$

所以由 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{1}{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x$ 的收敛性推出 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x$ 收敛. 解法 2 用泰勒展开式. 因为当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ ,所以

$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2{x}^{2}} + o\left( \frac{1}{{x}^{2}}\right) \;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) , $$

$$ \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{x}\left\lbrack {1 - \frac{1}{x} + o\left( \frac{1}{x}\right) }\right\rbrack \;\left( {x \rightarrow \infty }\right) . $$

以上两式相减得

$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{2{x}^{2}} + o\left( \frac{1}{{x}^{2}}\right) \sim \frac{1}{2{x}^{2}}\;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) . $$

从而 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x$ 收敛.

当 $x \rightarrow 0$ 时,令 $x = \frac{1}{t}$ ,有

$$ {\int }_{0}^{1}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) \mathrm{d}x\overset{x = \frac{1}{t}}{ = }{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\ln \left( {1 + t}\right) }{{t}^{2}}\mathrm{\;d}t. $$

由

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：识别瑕点
积分区间为 [0, +∞)，被积函数在 x=0 处无定义（ln(1+1/x) 发散），且 x→+∞ 时被积函数趋于0，因此瑕点为 x=0 和 x=+∞。需分别讨论两端的收敛性。
提示：注意广义积分可能有两个瑕点，需分段处理。
步骤 2/5
目标：讨论 x→+∞ 时的收敛性（解法1：比较判别法）
当 x>0 时，利用不等式 ln(1+u) ≤ u (u>0)，有 ln(1+1/x) ≤ 1/x，且 1/(1+x) > 0，故被积函数非负。进一步，ln(1+1/x) - 1/(1+x) ≤ 1/x - 1/(1+x) = 1/[x(1+x)]。由于 ∫₁^+∞ 1/[x(1+x)] dx 收敛（比较判别法，与 1/x² 比较），所以原积分在 [1,+∞) 上收敛。
公式：ln(1+1/x) - 1/(1+x) ≤ 1/[x(1+x)]
提示：常用不等式 ln(1+u) ≤ u (u>0) 可用于放缩。
步骤 3/5
目标：讨论 x→+∞ 时的收敛性（解法2：泰勒展开）
当 x→+∞ 时，令 u=1/x→0，则 ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x²) + o(1/x²)，1/(1+x) = 1/x * 1/(1+1/x) = 1/x - 1/x² + o(1/x²)。相减得 ln(1+1/x) - 1/(1+x) = 1/(2x²) + o(1/x²) ~ 1/(2x²) (x→+∞)。由于 ∫₁^+∞ 1/x² dx 收敛，故原积分在 [1,+∞) 上收敛。
公式：ln(1+1/x) - 1/(1+x) ~ 1/(2x²) (x→+∞)
提示：泰勒展开是处理无穷远处渐近行为的有效工具。
步骤 4/5
目标：讨论 x→0 时的收敛性
当 x→0⁺ 时，令 t=1/x，则 x=1/t，dx = -1/t² dt，积分变为 ∫₁^+∞ ln(1+t)/t² dt。由于 ln(1+t)/t² ~ ln t / t² (t→+∞)，而 ∫₁^+∞ ln t / t² dt 收敛（因为 ln t 增长慢于任何幂次），故原积分在 [0,1] 上收敛。
公式：∫₀¹ ln(1+1/x) dx = ∫₁^+∞ ln(1+t)/t² dt
提示：变量代换可将瑕点从0转移到无穷远。
步骤 5/5
目标：综合结论
由于积分在 [0,1] 和 [1,+∞) 上均收敛，故原广义积分收敛。
提示：分段讨论后，若每段收敛则整体收敛。

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