方企勤 第四章 级 数 第10题

教材习题

📝 题目

例 10 求证: 将级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{\sqrt{n}}$ 重排后的级数

$$ 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{{4k} - 3}} + \frac{1}{\sqrt{{4k} - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} + \cdots $$

发散.

💡 答案解析

证 先考虑级数 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{\sqrt{{4k} - 3}} + \frac{1}{\sqrt{{4k} - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)$ ,因

$$ \frac{1}{\sqrt{{4k} - 3}} + \frac{1}{\sqrt{{4k} - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} \geq \frac{1}{\sqrt{4k}} + \frac{1}{\sqrt{4k}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} $$

$$ = \left| {1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}\right| \frac{1}{\sqrt{k}}, $$

及 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{k}}}$ 发散,故 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{\sqrt{{4k} - 3}} + \frac{1}{\sqrt{{4k} - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)$ 发散 $\Rightarrow$ 重排后级数发散.

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将重排后的级数表示为部分和序列的极限形式
重排后的级数可以写成每三项一组的形式：\(1 + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{4k-3}} + \frac{1}{\sqrt{4k-1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} + \cdots\)，即级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4k-3}} + \frac{1}{\sqrt{4k-1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} \right)\)。
提示：注意重排后级数的通项结构，每三项一组，其中前两项为正，第三项为负。
步骤 2/3
目标：估计通项的下界
对于每个 \(k\)，有 \(\frac{1}{\sqrt{4k-3}} + \frac{1}{\sqrt{4k-1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} \geq \frac{1}{\sqrt{4k}} + \frac{1}{\sqrt{4k}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{k}}\)。因为 \(\frac{1}{\sqrt{4k-3}} > \frac{1}{\sqrt{4k}}\) 且 \(\frac{1}{\sqrt{4k-1}} > \frac{1}{\sqrt{4k}}\)。
公式：\frac{1}{\sqrt{4k-3}} + \frac{1}{\sqrt{4k-1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} \geq \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{k}}
提示：利用不等式放缩时，注意分母越大，分数越小，因此 \(\frac{1}{\sqrt{4k-3}} > \frac{1}{\sqrt{4k}}\)。
步骤 3/3
目标：比较判别法判断级数发散
由于 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}\) 发散（\(p\)-级数，\(p=1/2 \leq 1\)），且 \(\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) > 0\)，由比较判别法，级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4k-3}} + \frac{1}{\sqrt{4k-1}} - \frac{1}{\sqrt{2k}} \right)\) 发散。因此原重排后的级数发散。
提示：比较判别法：若正项级数 \(\sum a_n\) 发散，且 \(b_n \geq c a_n\)（\(c>0\)），则 \(\sum b_n\) 也发散。

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