方企勤 第四章 级 数 第1题
📝 题目
例 1 设 ${f}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛于 $f\left( x\right)$ ,求证: $\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right|$ 也在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛.
💡 答案解析
证 $\forall \varepsilon > 0$ ,由 ${f}_{n}\left( x\right) \xrightarrow[\text{ 一致 }]{\left\lbrack a,b\right\rbrack }f\left( x\right) ,\exists N\left( \varepsilon \right)$ ,当 $n > N,\forall x \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,有
$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| < \varepsilon \Rightarrow \left| \right| {f}_{n}\left( x\right) \left| -\right| f\left( x\right) \left| \right| < \varepsilon , $$
即 $\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛于 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用一致收敛的定义，证明绝对值函数列一致收敛。
由题设，对任意ε>0，存在N(ε)，当n>N时，对所有x∈[a,b]，有|f_n(x)-f(x)|<ε。根据绝对值不等式，||f_n(x)|-|f(x)|| ≤ |f_n(x)-f(x)| < ε，因此||f_n(x)|-|f(x)|| < ε。这表明|f_n(x)|在[a,b]上一致收敛于|f(x)|。
公式：||f_n(x)|-|f(x)|| ≤ |f_n(x)-f(x)|
提示：注意绝对值不等式是证明的关键，它保证了从原函数列的一致收敛性推出绝对值函数列的一致收敛性。
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