方企勤 第四章 级 数 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 ${u}_{n}\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在(a, b) 上一致收敛. 求证:

(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( a\right) ,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( b\right)$ 收敛;

(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛.

💡 答案解析

证(1) $\forall \varepsilon > 0$ ,由条件 $\exists N \in N$ ,当 $n > N$ ,对 $\forall p \in N$ ,

$$ \left| {{u}_{n + 1}\left( x\right) + {u}_{n + 2}\left( x\right) + \cdots + {u}_{n + p}\left( x\right) }\right| < \varepsilon \;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) , $$

令 $x \rightarrow a + 0$ ,得

$$ \left| {{u}_{n + 1}\left( a\right) + {u}_{n + 2}\left( a\right) + \cdots + {u}_{n + p}\left( a\right) }\right| \leq \varepsilon . $$

由数值级数收敛原理知 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( a\right)$ 收敛. 同理可证 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( b\right)$ 收敛.

(2)由(1)的证明过程可知,对 $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists N \in N$ ,当 $n > N$ 时,对 $\forall p \in N$ ,有

$$ \left| {{u}_{n + 1}\left( x\right) + {u}_{n + 2}\left( x\right) + \cdots + {u}_{n + p}\left( x\right) }\right| \leq \varepsilon \;\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right) . $$

由此可见, $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明端点级数收敛
由级数在开区间一致收敛，根据柯西准则，对任意ε>0，存在N，当n>N时，对任意p和任意x∈(a,b)，有|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<ε。令x→a+，由连续性得|u_{n+1}(a)+...+u_{n+p}(a)|≤ε，从而∑u_n(a)收敛。同理可证∑u_n(b)收敛。
公式：|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<ε, ∀x∈(a,b)
提示：利用一致收敛的柯西准则和函数的连续性，通过取极限得到端点处的估计。
步骤 2/2
目标：证明闭区间上一致收敛
由(1)的证明过程，对任意ε>0，存在N，当n>N时，对任意p和任意x∈(a,b)，有|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<ε。由于端点处也满足该不等式（通过极限得到），因此对任意x∈[a,b]成立。由柯西准则，级数在闭区间上一致收敛。
公式：|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|≤ε, ∀x∈[a,b]
提示：注意端点处的估计是通过极限得到的，但极限过程可能将严格不等式变为非严格，但依然满足柯西准则。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第6题 返回列表 第8题 →