方企勤 第四章 级 数 第6题
📝 题目
例 6 (1) 设级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $X$ 上一致收敛,求证: 级数的一般项 ${u}_{n}\left( x\right)$ 在 $X$ 上一致趋于零;
( 2 )讨论级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{2}^{n}\sin \frac{1}{{3}^{n}x}}$ 在 $x > 0$ 上的一致收敛性.
💡 答案解析
证(1)由一致收敛原理,对 $\forall \varepsilon > 0,\exists N \in \mathbf{N}$ ,使得对 $\forall n >$ $N,p = 1$ ,有
$$ \left| {{u}_{n + 1}\left( x\right) }\right| < \varepsilon \;\left( {\forall x \in X}\right) , $$
即得 ${u}_{n}\left( x\right)$ 在 $X$ 上一致趋于零.
(2)固定 $x > 0$ ,由
$$ {2}^{n}\sin \frac{1}{{3}^{n}x} \sim \frac{{2}^{n}}{{3}^{n}x} = \frac{1}{x}{\left( \frac{2}{3}\right) }^{n}\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$
可知 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{2}^{n}\sin \frac{1}{{3}^{n}x}}$ 对任意固定的 $x$ 收敛. 但
$$ \mathop{\sup }\limits_{{x > 0}}\left| {{2}^{n}\sin \frac{1}{{3}^{n}x}}\right| \geq {2}^{n}\sin \frac{1}{{3}^{n}\frac{1}{{3}^{n}}} = {2}^{n}\sin 1 \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$
因此,根据 (1),原级数在 $x > 0$ 上不一致收敛.